与えられた三角関数のグラフを描き、その周期を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた三角関数のグラフを描き、その周期を求める問題です。

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、グラフの形状と周期を考えます。

(1) $y = 2\cos\theta$:

これは基本のコサイン関数 $y = \cos\theta$ を$y$軸方向に2倍に拡大したものです。

コサイン関数の周期は $2\pi$ なので、この関数の周期も $2\pi$ です。

(2) $y = \frac{1}{2}\sin\theta$:

これは基本のサイン関数 $y = \sin\theta$ を$y$軸方向に$\frac{1}{2}$倍に縮小したものです。

サイン関数の周期は $2\pi$ なので、この関数の周期も $2\pi$ です。

(3) $y = \frac{1}{2}\tan\theta$:

これは基本のタンジェント関数 $y = \tan\theta$ を$y$軸方向に$\frac{1}{2}$倍に縮小したものです。

タンジェント関数の周期は $\pi$ なので、この関数の周期も $\pi$ です。

(4) $y = \cos(\theta - \frac{\pi}{3})$:

これは基本のコサイン関数 $y = \cos\theta$ を$\theta$軸方向に$\frac{\pi}{3}$だけ平行移動したものです。

コサイン関数の周期は $2\pi$ なので、この関数の周期も $2\pi$ です。

(5) $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$:

これは基本のサイン関数 $y = \sin\theta$ を$\theta$軸方向に$-\frac{\pi}{2}$だけ平行移動したものです。

サイン関数の周期は $2\pi$ なので、この関数の周期も $2\pi$ です。

$y = \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos\theta$ であることを覚えておくとグラフを描きやすいです。

(6) $y = \tan(\theta - \frac{\pi}{4})$:

これは基本のタンジェント関数 $y = \tan\theta$ を$\theta$軸方向に$\frac{\pi}{4}$だけ平行移動したものです。

タンジェント関数の周期は $\pi$ なので、この関数の周期も $\pi$ です。

(7) $y = \cos(2\theta)$:

これは基本のコサイン関数 $y = \cos\theta$ を$\theta$軸方向に$\frac{1}{2}$倍に縮小したものです。

コサイン関数の周期は $2\pi$ なので、この関数の周期は $\frac{2\pi}{2} = \pi$ です。

(8) $y = \sin(\frac{\theta}{2})$:

これは基本のサイン関数 $y = \sin\theta$ を$\theta$軸方向に2倍に拡大したものです。

サイン関数の周期は $2\pi$ なので、この関数の周期は $2\pi \times 2 = 4\pi$ です。

(9) $y = \tan(2\theta)$:

これは基本のタンジェント関数 $y = \tan\theta$ を$\theta$軸方向に$\frac{1}{2}$倍に縮小したものです。

タンジェント関数の周期は $\pi$ なので、この関数の周期は $\frac{\pi}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 周期: $2\pi$

(2) 周期: $2\pi$

(3) 周期: $\pi$

(4) 周期: $2\pi$

(5) 周期: $2\pi$

(6) 周期: $\pi$

(7) 周期: $\pi$

(8) 周期: $4\pi$

(9) 周期: $\frac{\pi}{2}$