関数 $f(x) = |x|$ が $x=0$ で微分可能でないことを示す問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x|$ が $x=0$ で微分可能でないことを示す問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = |x|$ を $x=0$ で微分可能であるかどうかを調べるには、左右からの極限（片側極限）を調べる必要があります。

$f(x)$は以下のように定義できます。

$f(x) = \begin{cases} x & (x \ge 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases}$

$x=0$ における右側極限（右側微分係数）は、

$\displaystyle \lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h}{h} = 1$

$x=0$ における左側極限（左側微分係数）は、

$\displaystyle \lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-h}{h} = -1$

右側極限と左側極限が一致しないため、$x=0$ での微分係数は存在しません。

3. 最終的な答え

$x=0$ における右側微分係数と左側微分係数が一致しないため、関数 $f(x) = |x|$ は $x=0$ で微分可能ではありません。