媒介変数 $t$ を用いて表された関数 $x$ と $y$ が与えられたとき、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて表された関数 $x$ と $y$ が与えられたとき、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す。

2. 解き方の手順

(1) $x = t + 1$, $y = 2t - 1$ の場合

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分する。

$\frac{dx}{dt} = 1$

$\frac{dy}{dt} = 2$

次に、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用いて $\frac{dy}{dx}$ を求める。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1} = 2$

(2) $x = \sqrt{1 - t^2}$, $y = t^2 + 1$ の場合

$x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分する。

$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}(1 - t^2)^{-\frac{1}{2}}(-2t) = \frac{-t}{\sqrt{1 - t^2}}$

$\frac{dy}{dt} = 2t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用いて $\frac{dy}{dx}$ を求める。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{\frac{-t}{\sqrt{1 - t^2}}} = -2\sqrt{1 - t^2}$

(3) $x = \sin t$, $y = \cos 2t + 1$ の場合

$x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分する。

$\frac{dx}{dt} = \cos t$

$\frac{dy}{dt} = -2\sin 2t = -4\sin t \cos t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用いて $\frac{dy}{dx}$ を求める。

$\frac{dy}{dx} = \frac{-4\sin t \cos t}{\cos t} = -4\sin t$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 2$

(2) $\frac{dy}{dx} = -2\sqrt{1 - t^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -4\sin t$