次の方程式で定められる $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。ただし、$y$ を用いて表してもよい。 (1) $y^2 = 8x$ (2) $x^2 + y^2 = 2$ (3) $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ (4) $2xy - 3 = 0$

1. 問題の内容

次の方程式で定められる $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。ただし、$y$ を用いて表してもよい。

(1) $y^2 = 8x$

(2) $x^2 + y^2 = 2$

(3) $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$

(4) $2xy - 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $y^2 = 8x$ の両辺を $x$ で微分する。

$2y \frac{dy}{dx} = 8$

$\frac{dy}{dx} = \frac{8}{2y} = \frac{4}{y}$

(2) $x^2 + y^2 = 2$ の両辺を $x$ で微分する。

$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$2y \frac{dy}{dx} = -2x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$

(3) $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ の両辺を $x$ で微分する。

$\frac{2x}{3} - \frac{2y}{2} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2x}{3} - y \frac{dy}{dx} = 0$

$y \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3y}$

(4) $2xy - 3 = 0$ の両辺を $x$ で微分する。

$2(x \frac{dy}{dx} + y \cdot 1) = 0$

$2x \frac{dy}{dx} + 2y = 0$

$2x \frac{dy}{dx} = -2y$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2y}{2x} = -\frac{y}{x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{y}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3y}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$