次の関数のマクローリン展開を求めます。 (1) $(e^x - e^{-x})^2$ (2) $\cos^2 x$ (3) $\frac{1}{1-3x+2x^2}$ (4) $\sin(x+\frac{\pi}{4})$

1. 問題の内容

次の関数のマクローリン展開を求めます。

(1) $(e^x - e^{-x})^2$

(2) $\cos^2 x$

(3) $\frac{1}{1-3x+2x^2}$

(4) $\sin(x+\frac{\pi}{4})$

2. 解き方の手順

(1) $(e^x - e^{-x})^2$ のマクローリン展開

まず、与えられた式を展開します。

$(e^x - e^{-x})^2 = e^{2x} - 2e^x e^{-x} + e^{-2x} = e^{2x} - 2 + e^{-2x}$

$e^x$ のマクローリン展開は $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ です。

したがって、

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \dots$

$e^{-2x} = 1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} + \frac{(-2x)^3}{3!} + \dots = 1 - 2x + 2x^2 - \frac{4}{3}x^3 + \dots$

よって、

$e^{2x} - 2 + e^{-2x} = (1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \dots) - 2 + (1 - 2x + 2x^2 - \frac{4}{3}x^3 + \dots) = 4x^2 + O(x^4)$

したがって、マクローリン展開は $4x^2 + \frac{8x^4}{3!} + \frac{32x^6}{5!} + ... = 4x^2 + \frac{4x^4}{3} + \frac{8x^6}{45}+...$

(2) $\cos^2 x$ のマクローリン展開

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$\cos x$ のマクローリン展開は $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$ です。

したがって、

$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + \dots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{45}x^6 + \dots$

$\cos^2 x = \frac{1 + (1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{45}x^6 + \dots)}{2} = \frac{2 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{45}x^6 + \dots}{2} = 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{45}x^6 + \dots$

(3) $\frac{1}{1-3x+2x^2}$ のマクローリン展開

$\frac{1}{1-3x+2x^2} = \frac{1}{(1-x)(1-2x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1-2x}$

$1 = A(1-2x) + B(1-x)$

$x=1$ のとき $1 = A(1-2) \implies A = -1$

$x=\frac{1}{2}$ のとき $1 = B(1-\frac{1}{2}) \implies B = 2$

したがって、

$\frac{1}{1-3x+2x^2} = \frac{-1}{1-x} + \frac{2}{1-2x} = -(1+x+x^2+x^3+...) + 2(1+2x+(2x)^2+(2x)^3+...) \\= -1 - x - x^2 - x^3 - ... + 2 + 4x + 8x^2 + 16x^3 + ... = 1 + 3x + 7x^2 + 15x^3 + ...$

(4) $\sin(x+\frac{\pi}{4})$ のマクローリン展開

$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x + \cos x)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 + x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} - \dots)$

$= \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} - \dots)$

3. 最終的な答え

(1) $(e^x - e^{-x})^2 = 4x^2 + \frac{4x^4}{3} + \frac{8x^6}{45} + ...$

(2) $\cos^2 x = 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{45}x^6 + \dots$

(3) $\frac{1}{1-3x+2x^2} = 1 + 3x + 7x^2 + 15x^3 + ...$

(4) $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} - \dots)$