与えられた4つの関数について、マクローリン展開を求める問題です。 (1) $(e^x - e^{-x})^2$ (2) $\cos^2 x$ (3) $\frac{1}{1-3x+2x^2}$ (4) $\sin(x+\frac{\pi}{4})$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、マクローリン展開を求める問題です。

(1) $(e^x - e^{-x})^2$

(2) $\cos^2 x$

(3) $\frac{1}{1-3x+2x^2}$

(4) $\sin(x+\frac{\pi}{4})$

2. 解き方の手順

(1) $(e^x - e^{-x})^2$ のマクローリン展開

まず、$e^x$ と $e^{-x}$ のマクローリン展開を求めます。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$

$e^x - e^{-x} = 2x + \frac{2x^3}{3!} + \frac{2x^5}{5!} + \cdots = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$(e^x - e^{-x})^2 = (2x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{60} + \cdots)^2 = 4x^2 + \frac{4x^4}{3} + \frac{x^6}{36} + \frac{4x^6}{60} + \cdots = 4x^2 + \frac{4}{3}x^4 + \frac{2}{15}x^6 + \cdots$

あるいは、$e^x-e^{-x} = 2\sinh x$ なので、$(e^x-e^{-x})^2 = 4\sinh^2 x = 2(\cosh(2x)-1) = 2(\sum_{n=0}^\infty \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} - 1) = 2(1 + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \cdots - 1) = 4x^2 + \frac{4}{3}x^4 + \frac{8}{45}x^6 + \dots$

(2) $\cos^2 x$ のマクローリン展開

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ を利用します。

$\cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n}}{(2n)!}$

$\cos^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (1 - \frac{4x^2}{2!} + \frac{16x^4}{4!} - \frac{64x^6}{6!} + \cdots) = 1 - x^2 + \frac{x^4}{3} - \frac{2x^6}{45} + \cdots$

(3) $\frac{1}{1-3x+2x^2}$ のマクローリン展開

$\frac{1}{1-3x+2x^2} = \frac{1}{(1-x)(1-2x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1-2x}$

$1 = A(1-2x) + B(1-x)$

$x=1$ のとき $1 = -A \Rightarrow A = -1$

$x=\frac{1}{2}$ のとき $1 = B(1-\frac{1}{2}) = \frac{B}{2} \Rightarrow B = 2$

$\frac{1}{1-3x+2x^2} = \frac{-1}{1-x} + \frac{2}{1-2x} = - \sum_{n=0}^{\infty} x^n + 2 \sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1 + 2^{n+1}) x^n$

$= (-1+2) + (-1+4)x + (-1+8)x^2 + (-1+16)x^3 + \cdots = 1 + 3x + 7x^2 + 15x^3 + \cdots$

(4) $\sin(x+\frac{\pi}{4})$ のマクローリン展開

$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sin x + \cos x)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 + x - \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots)$

3. 最終的な答え

(1) $(e^x - e^{-x})^2 = 4x^2 + \frac{4}{3}x^4 + \frac{8}{45}x^6 + \dots$

(2) $\cos^2 x = 1 - x^2 + \frac{x^4}{3} - \frac{2x^6}{45} + \cdots$

(3) $\frac{1}{1-3x+2x^2} = 1 + 3x + 7x^2 + 15x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (2^{n+1}-1)x^n$

(4) $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 + x - \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots)$