与えられた4つの関数について、マクローリン展開を求める問題です。 (1) $(e^x - e^{-x})^2$ (2) $\cos^2 x$ (3) $\frac{1}{1 - 3x + 2x^2}$ (4) $\sin(x + \frac{\pi}{4})$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、マクローリン展開を求める問題です。

(1) $(e^x - e^{-x})^2$

(2) $\cos^2 x$

(3) $\frac{1}{1 - 3x + 2x^2}$

(4) $\sin(x + \frac{\pi}{4})$

2. 解き方の手順

(1) $(e^x - e^{-x})^2$ のマクローリン展開

まず、$e^x$ のマクローリン展開は $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ です。

$e^{-x}$ のマクローリン展開は $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots$ です。

したがって、$e^x - e^{-x} = 2x + \frac{2x^3}{3!} + \frac{2x^5}{5!} + \cdots = 2x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{60} + \cdots$となります。

$(e^x - e^{-x})^2 = (2x + \frac{x^3}{3} + \cdots)^2 = 4x^2 + \frac{4x^4}{3} + \cdots$

$(e^x-e^{-x})^2 = e^{2x} - 2 + e^{-2x}$

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \cdots$

$e^{-2x} = 1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} + \frac{(-2x)^3}{3!} + \frac{(-2x)^4}{4!} + \cdots$

$e^{2x} + e^{-2x} = 2 + \frac{2(2x)^2}{2!} + \frac{2(2x)^4}{4!} + \cdots = 2 + 4x^2 + \frac{8x^4}{3} + \cdots$

$(e^x-e^{-x})^2 = 2 + 4x^2 + \frac{8x^4}{3} + \cdots - 2 = 4x^2 + \frac{8x^4}{3} + \cdots$

(2) $\cos^2 x$ のマクローリン展開

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$です。

$\cos x$ のマクローリン展開は $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ です。

したがって、$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \cdots = 1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} - \cdots$です。

$\cos^2 x = \frac{1 + (1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} - \cdots)}{2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{3} - \cdots$

(3) $\frac{1}{1 - 3x + 2x^2}$ のマクローリン展開

$\frac{1}{1 - 3x + 2x^2} = \frac{1}{(1 - x)(1 - 2x)} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{1 - 2x}$

$1 = A(1 - 2x) + B(1 - x)$

$x = 1$ のとき $1 = -A \Rightarrow A = -1$

$x = \frac{1}{2}$ のとき $1 = B(1 - \frac{1}{2}) \Rightarrow B = 2$

$\frac{1}{1 - 3x + 2x^2} = \frac{-1}{1 - x} + \frac{2}{1 - 2x} = -(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots) + 2(1 + 2x + (2x)^2 + (2x)^3 + \cdots) = -1 - x - x^2 - x^3 - \cdots + 2 + 4x + 8x^2 + 16x^3 + \cdots = 1 + 3x + 7x^2 + 15x^3 + \cdots$

(4) $\sin(x + \frac{\pi}{4})$ のマクローリン展開

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x + \cos x)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \cdots)$

3. 最終的な答え

(1) $(e^x - e^{-x})^2 = 4x^2 + \frac{8x^4}{3} + O(x^6)$

(2) $\cos^2 x = 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 + O(x^6)$

(3) $\frac{1}{1 - 3x + 2x^2} = 1 + 3x + 7x^2 + 15x^3 + O(x^4)$

(4) $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^4))$