関数 $y = \frac{1}{(x^3 + 2)^2}$ の導関数を求めます。

はい、承知いたしました。画像にある3つの問題について、それぞれ微分を計算します。

**問題12**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{(x^3 + 2)^2}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

この関数は $y = (x^3 + 2)^{-2}$ と書き換えることができます。合成関数の微分法(チェーンルール)を使います。

まず、$u = x^3 + 2$ とすると、$y = u^{-2}$ です。

$\frac{dy}{du} = -2u^{-3}$

$\frac{du}{dx} = 3x^2$

チェーンルールより、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = -2(x^3 + 2)^{-3} \cdot 3x^2 = -6x^2(x^3 + 2)^{-3}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{6x^2}{(x^3 + 2)^3}$

**問題13**

1. 問題の内容

関数 $y = (1 - 3x)^2 (x + 1)$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を使います。

積の微分法は $(uv)' = u'v + uv'$ で、$u = (1 - 3x)^2$、$v = (x + 1)$ とします。

まず、$u' = 2(1 - 3x)(-3) = -6(1 - 3x) = 18x - 6$

$v' = 1$

よって、

$\frac{dy}{dx} = (18x - 6)(x + 1) + (1 - 3x)^2 \cdot 1 = 18x^2 + 12x - 6 + (1 - 6x + 9x^2) = 27x^2 + 6x - 5$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 27x^2 + 6x - 5$

**問題14**

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 (2x - 1)^2$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を使います。

積の微分法は $(uv)' = u'v + uv'$ で、$u = x^3$、$v = (2x - 1)^2$ とします。

まず、$u' = 3x^2$

$v' = 2(2x - 1)(2) = 4(2x - 1) = 8x - 4$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 3x^2(2x - 1)^2 + x^3(8x - 4) = 3x^2(4x^2 - 4x + 1) + 8x^4 - 4x^3 = 12x^4 - 12x^3 + 3x^2 + 8x^4 - 4x^3 = 20x^4 - 16x^3 + 3x^2$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 20x^4 - 16x^3 + 3x^2$