与えられた4つの関数について、マクローリン展開を求めます。 (1) $(e^x - e^{-x})^2$ (2) $\cos^2 x$ (3) $\frac{1}{1-3x+2x^2}$ (4) $\sin(x+\frac{\pi}{4})$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、マクローリン展開を求めます。

(1) $(e^x - e^{-x})^2$

(2) $\cos^2 x$

(3) $\frac{1}{1-3x+2x^2}$

(4) $\sin(x+\frac{\pi}{4})$

2. 解き方の手順

(1) $(e^x - e^{-x})^2$ のマクローリン展開

まず、関数を展開します。

$(e^x - e^{-x})^2 = e^{2x} - 2 + e^{-2x}$

$e^x$ のマクローリン展開は $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$ です。

したがって、$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + ... = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + ...$

$e^{-2x} = 1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} + \frac{(-2x)^3}{3!} + ... = 1 - 2x + 2x^2 - \frac{4}{3}x^3 + ...$

$(e^x - e^{-x})^2 = (1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + ...) - 2 + (1 - 2x + 2x^2 - \frac{4}{3}x^3 + ...) = 4x^2 + O(x^4)$

(2) $\cos^2 x$ のマクローリン展開

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$\cos x$ のマクローリン展開は $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...$ です。

したがって、$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - ... = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - ...$

$\cos^2 x = \frac{1 + (1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - ...)}{2} = \frac{2 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - ...}{2} = 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 - ...$

(3) $\frac{1}{1-3x+2x^2}$ のマクローリン展開

$\frac{1}{1-3x+2x^2} = \frac{1}{(1-x)(1-2x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1-2x}$ と部分分数分解します。

$1 = A(1-2x) + B(1-x)$

$x=1$ のとき、$1 = A(1-2) \implies A = -1$

$x=\frac{1}{2}$ のとき、$1 = B(1-\frac{1}{2}) \implies B = 2$

よって、$\frac{1}{1-3x+2x^2} = -\frac{1}{1-x} + \frac{2}{1-2x}$

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ...$

$\frac{1}{1-2x} = 1 + 2x + (2x)^2 + (2x)^3 + ... = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + ...$

$-\frac{1}{1-x} + \frac{2}{1-2x} = -(1 + x + x^2 + x^3 + ...) + 2(1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + ...) = -1 - x - x^2 - x^3 - ... + 2 + 4x + 8x^2 + 16x^3 + ... = 1 + 3x + 7x^2 + 15x^3 + ...$

(4) $\sin(x+\frac{\pi}{4})$ のマクローリン展開

$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ... = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - ...$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ... = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - ...$

$\sin x + \cos x = 1 + x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} - ...$

$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} - ...)$

3. 最終的な答え

(1) $(e^x - e^{-x})^2 = 4x^2 + O(x^4)$

(2) $\cos^2 x = 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 - ...$

(3) $\frac{1}{1-3x+2x^2} = 1 + 3x + 7x^2 + 15x^3 + ...$

(4) $\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} - ...)$