関数 $y = x\sqrt{1+x^2}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

## 問題9

1. 問題の内容

関数 $y = x\sqrt{1+x^2}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$ であり、合成関数の微分公式は $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ です。

まず、$u = x$、$v = \sqrt{1+x^2}$ とおきます。

すると、

$u' = \frac{du}{dx} = 1$

次に、$v = \sqrt{1+x^2}$ の微分を計算します。これは合成関数と見なせます。$g(x) = 1+x^2$ とすると、$v = \sqrt{g(x)}$ となります。

$g'(x) = 2x$

$v' = \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 1\cdot\sqrt{1+x^2} + x\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1+x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{dy}{dx}$ をさらに整理すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x^2) + x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}$

## 問題11

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。商の微分公式は $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

$u = x - \sqrt{x^2 - 1}$、$v = x + \sqrt{x^2 - 1}$ とおきます。

$u' = 1 - \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}} = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{\sqrt{x^2-1} - x}{\sqrt{x^2-1}}$

$v' = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{\sqrt{x^2-1} + x}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ に代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\sqrt{x^2-1} - x}{\sqrt{x^2-1}}(x + \sqrt{x^2-1}) - (x - \sqrt{x^2-1})\frac{\sqrt{x^2-1} + x}{\sqrt{x^2-1}}}{(x + \sqrt{x^2 - 1})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(\sqrt{x^2-1} - x)(x + \sqrt{x^2-1}) - (x - \sqrt{x^2-1})(x + \sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2-1}(x + \sqrt{x^2 - 1})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(\sqrt{x^2-1} - x)(x + \sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2-1}(x + \sqrt{x^2 - 1})^2}$

分子を計算すると、 $(\sqrt{x^2-1} - x)(x + \sqrt{x^2-1}) = (x^2-1) - x^2 = -1$ となるので

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{\sqrt{x^2-1}(x + \sqrt{x^2 - 1})^2}$

ここで、$x + \sqrt{x^2-1} = \frac{1}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$であることに注意すると、$y = (x - \sqrt{x^2 - 1})^2$と書き換えられ、この微分を計算する方が簡単です。

$y = (x - \sqrt{x^2 - 1})^2$

$y' = 2(x - \sqrt{x^2 - 1})(1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}) = 2(x - \sqrt{x^2 - 1})(\frac{\sqrt{x^2 - 1} - x}{\sqrt{x^2 - 1}}) = \frac{-2(x-\sqrt{x^2-1})^2}{\sqrt{x^2 - 1}}$

さらに、$y = \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x + \sqrt{x^2 - 1}} = (x - \sqrt{x^2 - 1})^2$ なので、

$y' = \frac{-2y}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2(x - \sqrt{x^2 - 1})^2}{\sqrt{x^2 - 1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2(x - \sqrt{x^2 - 1})^2}{\sqrt{x^2 - 1}}$

または、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2y}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{\sqrt{x^2-1}(x + \sqrt{x^2 - 1})^2}$