与えられた関数に対して、指定された次数の導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。 (1) $y = x^4 - 3x^2 + 2$ の3次導関数 (2) $y = \frac{1}{x+2}$ の3次導関数 (3) $y = \sin 2x$ の4次導関数 (4) $y = e^{-x}$ の5次導関数

1. 問題の内容

与えられた関数に対して、指定された次数の導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。

(1) $y = x^4 - 3x^2 + 2$ の3次導関数

(2) $y = \frac{1}{x+2}$ の3次導関数

(3) $y = \sin 2x$ の4次導関数

(4) $y = e^{-x}$ の5次導関数

2. 解き方の手順

(1) $y = x^4 - 3x^2 + 2$ の3次導関数

* 1次導関数: $y' = 4x^3 - 6x$

* 2次導関数: $y'' = 12x^2 - 6$

* 3次導関数: $y''' = 24x$

(2) $y = \frac{1}{x+2}$ の3次導関数

* $y = (x+2)^{-1}$

* 1次導関数: $y' = -1(x+2)^{-2}$

* 2次導関数: $y'' = 2(x+2)^{-3}$

* 3次導関数: $y''' = -6(x+2)^{-4} = \frac{-6}{(x+2)^4}$

(3) $y = \sin 2x$ の4次導関数

* 1次導関数: $y' = 2\cos 2x$

* 2次導関数: $y'' = -4\sin 2x$

* 3次導関数: $y''' = -8\cos 2x$

* 4次導関数: $y'''' = 16\sin 2x$

(4) $y = e^{-x}$ の5次導関数

* 1次導関数: $y' = -e^{-x}$

* 2次導関数: $y'' = e^{-x}$

* 3次導関数: $y''' = -e^{-x}$

* 4次導関数: $y'''' = e^{-x}$

* 5次導関数: $y''''' = -e^{-x}$

3. 最終的な答え

(1) $24x$

(2) $\frac{-6}{(x+2)^4}$

(3) $16\sin 2x$

(4) $-e^{-x}$