与えられた10個の積分を計算する問題です。 (1) $\int x \cos x dx$ (2) $\int xe^x dx$ (3) $\int x^2 \log x dx$ (4) $\int x \cos 2x dx$ (5) $\int xe^{-x} dx$ (6) $\int \log 2x dx$ (7) $\int \arctan x dx$ (8) $\int \arcsin x dx$ (9) $\int e^{2x} \sin x dx$ (10) $\int e^{3x} \cos 2x dx$

1. 問題の内容

与えられた10個の積分を計算する問題です。

(1) $\int x \cos x dx$

(2) $\int xe^x dx$

(3) $\int x^2 \log x dx$

(4) $\int x \cos 2x dx$

(5) $\int xe^{-x} dx$

(6) $\int \log 2x dx$

(7) $\int \arctan x dx$

(8) $\int \arcsin x dx$

(9) $\int e^{2x} \sin x dx$

(10) $\int e^{3x} \cos 2x dx$

2. 解き方の手順

それぞれの積分を計算します。

(1) 部分積分を用いる。 $u=x, dv=\cos x dx$ とすると、$du=dx, v=\sin x$。

$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C$

(2) 部分積分を用いる。 $u=x, dv=e^x dx$ とすると、$du=dx, v=e^x$。

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$

(3) 部分積分を用いる。 $u = \log x, dv = x^2 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = \frac{x^3}{3}$。

$\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C = \frac{x^3}{9} (3 \log x - 1) + C$

(4) 部分積分を用いる。 $u=x, dv=\cos 2x dx$ とすると、$du=dx, v=\frac{1}{2} \sin 2x$。

$\int x \cos 2x dx = \frac{1}{2} x \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x dx = \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(5) 部分積分を用いる。 $u=x, dv=e^{-x} dx$ とすると、$du=dx, v=-e^{-x}$。

$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - \int -e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C$

(6) 部分積分を用いる。 $u=\log 2x, dv=dx$ とすると、$du=\frac{1}{x} dx, v=x$。

$\int \log 2x dx = x \log 2x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log 2x - \int dx = x \log 2x - x + C = x (\log 2x - 1) + C$

(7) 部分積分を用いる。 $u=\arctan x, dv=dx$ とすると、$du=\frac{1}{1+x^2} dx, v=x$。

$\int \arctan x dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$

(8) 部分積分を用いる。 $u=\arcsin x, dv=dx$ とすると、$du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx, v=x$。

$\int \arcsin x dx = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$

(9) $I = \int e^{2x} \sin x dx$ と置く。部分積分を2回行う。

$u = \sin x, dv = e^{2x} dx$ とすると、$du = \cos x dx, v = \frac{1}{2} e^{2x}$。

$I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x dx$

$J = \int e^{2x} \cos x dx$ に対して、再度部分積分を行う。 $u = \cos x, dv = e^{2x} dx$ とすると、$du = -\sin x dx, v = \frac{1}{2} e^{2x}$。

$J = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} I$

$I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} J = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} I) = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x - \frac{1}{4} I$

$\frac{5}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x$

$I = \frac{4}{5} (\frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x) = \frac{2}{5} e^{2x} \sin x - \frac{1}{5} e^{2x} \cos x + C = \frac{1}{5} e^{2x} (2 \sin x - \cos x) + C$

(10) $I = \int e^{3x} \cos 2x dx$ と置く。部分積分を2回行う。

$u = \cos 2x, dv = e^{3x} dx$ とすると、$du = -2 \sin 2x dx, v = \frac{1}{3} e^{3x}$。

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \cos 2x + \frac{2}{3} \int e^{3x} \sin 2x dx$

$J = \int e^{3x} \sin 2x dx$ に対して、再度部分積分を行う。 $u = \sin 2x, dv = e^{3x} dx$ とすると、$du = 2 \cos 2x dx, v = \frac{1}{3} e^{3x}$。

$J = \frac{1}{3} e^{3x} \sin 2x - \frac{2}{3} \int e^{3x} \cos 2x dx = \frac{1}{3} e^{3x} \sin 2x - \frac{2}{3} I$

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \cos 2x + \frac{2}{3} J = \frac{1}{3} e^{3x} \cos 2x + \frac{2}{3} (\frac{1}{3} e^{3x} \sin 2x - \frac{2}{3} I) = \frac{1}{3} e^{3x} \cos 2x + \frac{2}{9} e^{3x} \sin 2x - \frac{4}{9} I$

$\frac{13}{9} I = \frac{1}{3} e^{3x} \cos 2x + \frac{2}{9} e^{3x} \sin 2x$

$I = \frac{9}{13} (\frac{1}{3} e^{3x} \cos 2x + \frac{2}{9} e^{3x} \sin 2x) = \frac{3}{13} e^{3x} \cos 2x + \frac{2}{13} e^{3x} \sin 2x + C = \frac{1}{13} e^{3x} (3 \cos 2x + 2 \sin 2x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C$

(2) $\int xe^x dx = (x-1)e^x + C$

(3) $\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{9} (3 \log x - 1) + C$

(4) $\int x \cos 2x dx = \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(5) $\int xe^{-x} dx = -(x+1)e^{-x} + C$

(6) $\int \log 2x dx = x (\log 2x - 1) + C$

(7) $\int \arctan x dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$

(8) $\int \arcsin x dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$

(9) $\int e^{2x} \sin x dx = \frac{1}{5} e^{2x} (2 \sin x - \cos x) + C$

(10) $\int e^{3x} \cos 2x dx = \frac{1}{13} e^{3x} (3 \cos 2x + 2 \sin 2x) + C$