以下の不定積分を計算します。 $\int \frac{1}{2x+1} dx$

## 問題 6.1.2 (1) の積分

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{2x+1} dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用います。$u = 2x + 1$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2$ より $dx = \frac{1}{2} du$ です。

したがって、

$\int \frac{1}{2x+1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du$

$\frac{1}{u}$ の積分は $\log|u|$ なので、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \log|u| + C$

最後に、$u$ を $2x+1$ に戻すと、

$\frac{1}{2} \log|2x+1| + C$

となります ($C$ は積分定数)。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \log|2x+1| + C$

## 問題 6.1.2 (2) の積分

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

$\int (2x+3)^3 dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用います。$u = 2x + 3$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2$ より $dx = \frac{1}{2} du$ です。

したがって、

$\int (2x+3)^3 dx = \int u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du$

$u^3$ の積分は $\frac{1}{4} u^4$ なので、

$\frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{8} u^4 + C$

最後に、$u$ を $2x+3$ に戻すと、

$\frac{1}{8} (2x+3)^4 + C$

となります ($C$ は積分定数)。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8} (2x+3)^4 + C$

## 問題 6.1.2 (3) の積分

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用います。$u = 4x - 3$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 4$ より $dx = \frac{1}{4} du$ です。

したがって、

$\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^{-3} du$

$u^{-3}$ の積分は $-\frac{1}{2} u^{-2}$ なので、

$\frac{1}{4} \int u^{-3} du = \frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) u^{-2} + C = -\frac{1}{8} u^{-2} + C = -\frac{1}{8u^2} + C$

最後に、$u$ を $4x-3$ に戻すと、

$-\frac{1}{8(4x-3)^2} + C$

となります ($C$ は積分定数)。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{8(4x-3)^2} + C$

## 問題 6.1.2 (4) の積分

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

$\int \sqrt{2x+3} dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用います。$u = 2x + 3$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2$ より $dx = \frac{1}{2} du$ です。

したがって、

$\int \sqrt{2x+3} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du$

$u^{\frac{1}{2}}$ の積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ なので、

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

最後に、$u$ を $2x+3$ に戻すと、

$\frac{1}{3} (2x+3)^{\frac{3}{2}} + C$

となります ($C$ は積分定数)。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} (2x+3)^{\frac{3}{2}} + C$

## 問題 6.1.2 (5) の積分

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用います。$u = 2 - 3x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = -3$ より $dx = -\frac{1}{3} du$ です。

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}} du$

$u^{-\frac{1}{2}}$ の積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ なので、

$-\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

最後に、$u$ を $2-3x$ に戻すと、

$-\frac{2}{3} \sqrt{2-3x} + C$

となります ($C$ は積分定数)。

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{3} \sqrt{2-3x} + C$

## 問題 6.1.2 (6) の積分

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

$\int \sin(3x) dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用います。$u = 3x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 3$ より $dx = \frac{1}{3} du$ です。

したがって、

$\int \sin(3x) dx = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \sin(u) du$

$\sin(u)$ の積分は $-\cos(u)$ なので、

$\frac{1}{3} \int \sin(u) du = \frac{1}{3} \cdot (-\cos(u)) + C = -\frac{1}{3} \cos(u) + C$

最後に、$u$ を $3x$ に戻すと、

$-\frac{1}{3} \cos(3x) + C$

となります ($C$ は積分定数)。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3} \cos(3x) + C$

## 問題 6.1.2 (7) の積分

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

$\int e^{2x+3} dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用います。$u = 2x + 3$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2$ より $dx = \frac{1}{2} du$ です。

したがって、

$\int e^{2x+3} dx = \int e^{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^{u} du$

$e^{u}$ の積分は $e^{u}$ なので、

$\frac{1}{2} \int e^{u} du = \frac{1}{2} e^{u} + C$

最後に、$u$ を $2x+3$ に戻すと、

$\frac{1}{2} e^{2x+3} + C$

となります ($C$ は積分定数)。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} e^{2x+3} + C$

## 問題 6.1.2 (8) の積分

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

$\int x(2-x)^3 dx$

2. 解き方の手順

まず、$(2-x)^3$ を展開します。

$(2-x)^3 = (2-x)(2-x)(2-x) = (4 - 4x + x^2)(2-x) = 8 - 12x + 6x^2 - x^3$

したがって、積分は次のようになります。

$\int x(8 - 12x + 6x^2 - x^3) dx = \int (8x - 12x^2 + 6x^3 - x^4) dx$

各項を積分すると、

$\int 8x dx = 4x^2$

$\int -12x^2 dx = -4x^3$

$\int 6x^3 dx = \frac{3}{2}x^4$

$\int -x^4 dx = -\frac{1}{5}x^5$

これらを合計して、

$4x^2 - 4x^3 + \frac{3}{2}x^4 - \frac{1}{5}x^5 + C$

となります ($C$ は積分定数)。

3. 最終的な答え

$4x^2 - 4x^3 + \frac{3}{2}x^4 - \frac{1}{5}x^5 + C$

## 問題 6.1.2 (9) の積分

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

$\int x\sqrt{1-x} dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用います。$u = 1 - x$ とおくと、$x = 1 - u$ であり、$\frac{du}{dx} = -1$ より $dx = -du$ です。

したがって、

$\int x\sqrt{1-x} dx = \int (1-u)\sqrt{u} (-du) = - \int (1-u)u^{\frac{1}{2}} du = -\int (u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}}) du$

各項を積分すると、

$-\int u^{\frac{1}{2}} du = -\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$

$\int u^{\frac{3}{2}} du = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$

したがって、

$-\int (u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}}) du = -\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

最後に、$u$ を $1-x$ に戻すと、

$-\frac{2}{3} (1-x)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} (1-x)^{\frac{5}{2}} + C$

となります ($C$ は積分定数)。

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{3} (1-x)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} (1-x)^{\frac{5}{2}} + C$

## 問題 6.1.2 (10) の積分

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用います。$u = x + 1$ とおくと、$x = u - 1$ であり、$\frac{du}{dx} = 1$ より $dx = du$ です。

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du = \int \frac{u-1}{u^{\frac{1}{2}}} du = \int (u^{\frac{1}{2}} - u^{-\frac{1}{2}}) du$

各項を積分すると、

$\int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}$

$\int u^{-\frac{1}{2}} du = 2u^{\frac{1}{2}}$

したがって、

$\int (u^{\frac{1}{2}} - u^{-\frac{1}{2}}) du = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} - 2u^{\frac{1}{2}} + C$

最後に、$u$ を $x+1$ に戻すと、

$\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} - 2(x+1)^{\frac{1}{2}} + C$

となります ($C$ は積分定数)。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} - 2(x+1)^{\frac{1}{2}} + C$