与えられた選択肢の中から、正しいものを全て選ぶ問題です。ただし、関数は全て連続とします。選択肢は以下の通りです。 * 閉区間 $[a,b]$ 上で、$\int_a^b f(x) dx = 0$ ならば、$[a,b]$ 上で $f(x) = 0$ である。 * $\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx - \int_c^b f(x) dx$ が成り立つ。 * $f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ において常に積分可能である。 * 閉区間 $[a,b]$ 上で、$\int_a^b \{f(x)\}^2 dx = 0$ ならば、$[a,b]$ 上で $f(x) = 0$ である。 * 閉区間 $[a,b]$ 上で、$f(x) \le g(x)$ ならば、$\int_a^b |f(x)| dx \le \int_a^b |g(x)| dx$ が成り立つ。 * $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (\frac{k}{n})^3 = \int_0^1 x^3 dx$ が成り立つ。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、正しいものを全て選ぶ問題です。ただし、関数は全て連続とします。選択肢は以下の通りです。

* 閉区間 $[a,b]$ 上で、$\int_a^b f(x) dx = 0$ ならば、$[a,b]$ 上で $f(x) = 0$ である。

* $\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx - \int_c^b f(x) dx$ が成り立つ。

* $f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ において常に積分可能である。

* 閉区間 $[a,b]$ 上で、$\int_a^b \{f(x)\}^2 dx = 0$ ならば、$[a,b]$ 上で $f(x) = 0$ である。

* 閉区間 $[a,b]$ 上で、$f(x) \le g(x)$ ならば、$\int_a^b |f(x)| dx \le \int_a^b |g(x)| dx$ が成り立つ。

* $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (\frac{k}{n})^3 = \int_0^1 x^3 dx$ が成り立つ。

2. 解き方の手順

* **選択肢1について:** $\int_a^b f(x) dx = 0$ であっても、$f(x) = 0$ とは限りません。例えば、$f(x)$ が正と負の両方の値を取る場合、積分値が0になることがあります。したがって、この選択肢は誤りです。

* **選択肢2について:** 積分区間の加法性より、$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ が成り立ちます。移項すると、$\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx - \int_c^b f(x) dx$ となるため、この選択肢は正しいです。

* **選択肢3について:** 問題文で関数 $f(x)$ は連続であると仮定されています。連続関数は積分可能なので、この選択肢は正しいです。

* **選択肢4について:** $\int_a^b \{f(x)\}^2 dx = 0$ であり、$f(x)$ が連続であるとき、$f(x) = 0$ が $[a, b]$ 上で成り立ちます。$\{f(x)\}^2$ は常に非負であり、その積分が0であることは、$\{f(x)\}^2$ が $[a, b]$ 上で恒等的に0であることを意味します。したがって、この選択肢は正しいです。

* **選択肢5について:** $f(x) \le g(x)$ であっても、$\int_a^b |f(x)| dx \le \int_a^b |g(x)| dx$ が常に成り立つとは限りません。例えば、$f(x)$ が負の値を取り、$g(x)$ が正の値を取る場合、絶対値を取ることで大小関係が逆転することがあります。したがって、この選択肢は誤りです。

* **選択肢6について:** これはリーマン和の定義です。$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (\frac{k}{n})^3$ は、関数 $x^3$ を区間 $[0, 1]$ で積分した値に等しくなります。$\int_0^1 x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_0^1 = \frac{1}{4}$ であるため、この選択肢は正しいです。

3. 最終的な答え

正しい選択肢は、2, 3, 4, 6 です。