関数 $y = \log_3 |x^2 - 1|$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

はい、承知しました。画像に含まれる数学の問題のうち、6番の問題を解いて回答します。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_3 |x^2 - 1|$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数関数の微分公式を思い出します。底が $a$ の対数関数 $y = \log_a u$ の導関数は、

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\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u \ln a} \frac{du}{dx}

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で与えられます。

この問題では、$a = 3$ であり、$u = |x^2 - 1|$ です。絶対値の微分を考える必要があるため、場合分けして考えます。

$x^2 - 1 > 0$ のとき、$|x^2 - 1| = x^2 - 1$ なので、

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\frac{d}{dx} |x^2 - 1| = \frac{d}{dx} (x^2 - 1) = 2x

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$x^2 - 1 < 0$ のとき、$|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$ なので、

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\frac{d}{dx} |x^2 - 1| = \frac{d}{dx} (1 - x^2) = -2x

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これらをまとめると、

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\frac{d}{dx} |x^2 - 1| = \frac{2x(x^2-1)}{|x^2-1|}

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となります。

したがって、$y = \log_3 |x^2 - 1|$ の導関数は、

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y' = \frac{1}{|x^2 - 1| \ln 3} \cdot \frac{2x(x^2-1)}{|x^2-1|}

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y' = \frac{2x(x^2-1)}{|x^2-1|^2 \ln 3} = \frac{2x}{(x^2-1) \ln 3}

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となります。

3. 最終的な答え

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y' = \frac{2x}{(x^2-1) \ln 3}

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