関数 $f(x) = |x|\sqrt{x+1}$ の極値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x|\sqrt{x+1}$ の極値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の定義域を確認する。$\sqrt{x+1}$ が定義されるためには、$x+1 \geq 0$ が必要なので、$x \geq -1$ である。

次に、$f(x)$ を場合分けして表す。

$x \geq 0$ のとき、$f(x) = x\sqrt{x+1}$

$-1 \leq x < 0$ のとき、$f(x) = -x\sqrt{x+1}$

それぞれの区間で微分を計算する。

$x > 0$ のとき、

$f'(x) = \sqrt{x+1} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \sqrt{x+1} + \frac{x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{2(x+1)+x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}$

$f'(x) = 0$ となるのは $3x+2 = 0$ より $x = -\frac{2}{3}$ だが、$x > 0$ の範囲には存在しない。$x > 0$ において $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は単調増加である。

$-1 < x < 0$ のとき、

$f'(x) = -\sqrt{x+1} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = -\sqrt{x+1} - \frac{x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{-2(x+1)-x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{-3x-2}{2\sqrt{x+1}}$

$f'(x) = 0$ となるのは $-3x-2 = 0$ より $x = -\frac{2}{3}$ である。$-1 < x < 0$ の範囲に含まれる。

$x=-\frac{2}{3}$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べる。

$-1 < x < -\frac{2}{3}$ のとき、$f'(x) > 0$

$-\frac{2}{3} < x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$

よって、$x = -\frac{2}{3}$ で極大値をとる。

$f(-\frac{2}{3}) = - (-\frac{2}{3}) \sqrt{-\frac{2}{3} + 1} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

$x=0$ における連続性を確認する。

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$, $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$, $f(0) = 0$

よって、$x=0$ で連続である。

$x=0$ で微分可能かどうかを確認する。

$x \to 0^+$ のとき、$f'(x) = \frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} \to 1$

$x \to 0^-$ のとき、$f'(x) = \frac{-3x-2}{2\sqrt{x+1}} \to -1$

左右の微分係数が異なるため、$x=0$ で微分不可能である。

$x=0$ において、$f(x)$ は極小値0をとる。

$x=-1$ において、$f(-1) = 0$ であり、定義域の端点なので、極値の候補である。

$-1 < x < 0$ では $f'(x) > 0$ なら $f(x)$ は単調増加, $f'(x) < 0$ なら $f(x)$ は単調減少なので、$f(-1)=0$ は極小値である。

3. 最終的な答え

極大値：$x = -\frac{2}{3}$ で $\frac{2\sqrt{3}}{9}$

極小値：$x = 0$ で 0, $x=-1$ で0