与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の5つの関数について、それぞれ$x$で微分します。 (2) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (4) $y = \cos^2(3x)$ (6) $y = \log_3(|x^3-1|)$ (8) $y = \arctan(\sqrt{1-x})$ (10) $y = \log(\sqrt{x^2+1}+x)$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の5つの関数について、それぞれ$x$で微分します。

(2) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(4) $y = \cos^2(3x)$

(6) $y = \log_3(|x^3-1|)$

(8) $y = \arctan(\sqrt{1-x})$

(10) $y = \log(\sqrt{x^2+1}+x)$

2. 解き方の手順

(2) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1-x^2)^{-1/2}$

合成関数の微分を用いて、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}(1-x^2)^{-3/2} \cdot (-2x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$

(4) $y = \cos^2(3x)$

合成関数の微分を用いる。

$\frac{dy}{dx} = 2\cos(3x) \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 = -6\cos(3x)\sin(3x) = -3\sin(6x)$

(6) $y = \log_3(|x^3-1|)$

$\log_a(x) = \frac{\log(x)}{\log(a)}$であるので、

$y = \frac{\log(|x^3-1|)}{\log(3)}$

合成関数の微分を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log(3)} \cdot \frac{1}{x^3-1} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{\log(3)(x^3-1)}$

(8) $y = \arctan(\sqrt{1-x})$

合成関数の微分を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\sqrt{1-x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = \frac{-1}{2(2-x)\sqrt{1-x}}$

(10) $y = \log(\sqrt{x^2+1}+x)$

合成関数の微分を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \cdot (\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} + 1) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \cdot (\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -3\sin(6x)$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{\log(3)(x^3-1)}$

(8) $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{2(2-x)\sqrt{1-x}}$

(10) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$