与えられた方程式 $ax = 2\log{x} + \log{3}$ ($x > 0$) が、$a$ の値によって何個の実数解を持つかを求めます。ここで、$\log$ は自然対数（底が $e$）を表すとします。

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7. xの方程式 $ax = 2\log{x} + \log{3}$ ($x > 0$) の実数解の個数を、$a$ の値によって分類して答えよ。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $ax = 2\log{x} + \log{3}$ ($x > 0$) が、$a$ の値によって何個の実数解を持つかを求めます。ここで、$\log$ は自然対数（底が $e$）を表すとします。

2. 解き方の手順

まず、方程式を変形します。$x>0$ なので、$a$ について解くことができます。

$a = \frac{2\log{x} + \log{3}}{x} = \frac{2\log{x}}{x} + \frac{\log{3}}{x}$

次に、関数 $f(x) = \frac{2\log{x} + \log{3}}{x}$ のグラフの概形を調べます。$f(x)$ の導関数を計算して、増減を調べます。

$f'(x) = \frac{x(\frac{2}{x}) - (2\log{x} + \log{3})}{x^2} = \frac{2 - 2\log{x} - \log{3}}{x^2} = \frac{2 - \log{(3x^2)}}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$2 - \log{(3x^2)} = 0$

$\log{(3x^2)} = 2$

$3x^2 = e^2$

$x^2 = \frac{e^2}{3}$

$x = \pm \frac{e}{\sqrt{3}}$

ただし、$x > 0$ より、$x = \frac{e}{\sqrt{3}}$

次に、$f'(x)$ の符号を調べます。$x = \frac{e}{\sqrt{3}}$ を境に、$f'(x)$ の符号が変わります。

* $0 < x < \frac{e}{\sqrt{3}}$ のとき、$2 - \log{(3x^2)} > 0$ なので、$f'(x) > 0$。したがって、$f(x)$ は増加します。

* $x > \frac{e}{\sqrt{3}}$ のとき、$2 - \log{(3x^2)} < 0$ なので、$f'(x) < 0$。したがって、$f(x)$ は減少します。

したがって、$x = \frac{e}{\sqrt{3}}$ で、$f(x)$ は極大値を取ります。極大値は、

$f(\frac{e}{\sqrt{3}}) = \frac{2\log{(\frac{e}{\sqrt{3}})} + \log{3}}{\frac{e}{\sqrt{3}}} = \frac{2(1 - \frac{1}{2}\log{3}) + \log{3}}{\frac{e}{\sqrt{3}}} = \frac{2 - \log{3} + \log{3}}{\frac{e}{\sqrt{3}}} = \frac{2}{\frac{e}{\sqrt{3}}} = \frac{2\sqrt{3}}{e}$

また、$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2\log{x} + \log{3}}{x} = -\infty$ であり、$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2\log{x} + \log{3}}{x} = 0$ （問題文中に$\lim_{x\to \infty}\frac{\log x}{x} = 0$ であることを用いてよいと書いてある）です。

これらの情報から、$f(x)$ のグラフの概形を考えると、直線 $y=a$ と $f(x)$ のグラフの交点の数が、方程式の実数解の個数に対応します。

* $a < 0$ のとき、交点はないので、解は0個。

* $a = 0$ のとき、$\lim_{x\to\infty}f(x) = 0$ より、解はないので、解は0個。

* $0 < a < \frac{2\sqrt{3}}{e}$ のとき、交点は2個なので、解は2個。

* $a = \frac{2\sqrt{3}}{e}$ のとき、交点は1個なので、解は1個。

* $a > \frac{2\sqrt{3}}{e}$ のとき、交点はないので、解は0個。

3. 最終的な答え

* $a < 0$ のとき、解は0個。

* $a = 0$ のとき、解は0個。

* $0 < a < \frac{2\sqrt{3}}{e}$ のとき、解は2個。

* $a = \frac{2\sqrt{3}}{e}$ のとき、解は1個。

* $a > \frac{2\sqrt{3}}{e}$ のとき、解は0個。