与えられた三角関数のグラフを描き、その周期を求める問題です。以下の9つの関数について解答します。 (1) $y = 2\cos\theta$ (2) $y = \frac{1}{2}\sin\theta$ (3) $y = \frac{1}{2}\tan\theta$ (4) $y = \cos(\theta - \frac{\pi}{3})$ (5) $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ (6) $y = \tan(\theta - \frac{\pi}{4})$ (7) $y = \cos 2\theta$ (8) $y = \sin \frac{\theta}{2}$ (9) $y = \tan 2\theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数のグラフを描き、その周期を求める問題です。以下の9つの関数について解答します。

(1) $y = 2\cos\theta$

(2) $y = \frac{1}{2}\sin\theta$

(3) $y = \frac{1}{2}\tan\theta$

(4) $y = \cos(\theta - \frac{\pi}{3})$

(5) $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$

(6) $y = \tan(\theta - \frac{\pi}{4})$

(7) $y = \cos 2\theta$

(8) $y = \sin \frac{\theta}{2}$

(9) $y = \tan 2\theta$

2. 解き方の手順

各関数のグラフの概形と周期を求めます。

(1) $y = 2\cos\theta$

コサイン関数の振幅が2倍になっています。

周期は$2\pi$です。

(2) $y = \frac{1}{2}\sin\theta$

サイン関数の振幅が1/2倍になっています。

周期は$2\pi$です。

(3) $y = \frac{1}{2}\tan\theta$

タンジェント関数の傾きが1/2倍になっています。

周期は$\pi$です。

(4) $y = \cos(\theta - \frac{\pi}{3})$

コサイン関数を$\theta$方向に$\frac{\pi}{3}$だけ平行移動しています。

周期は$2\pi$です。

(5) $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$

サイン関数を$\theta$方向に$-\frac{\pi}{2}$だけ平行移動しています。

これは、$y = \cos\theta$ と同じグラフになります。

周期は$2\pi$です。

(6) $y = \tan(\theta - \frac{\pi}{4})$

タンジェント関数を$\theta$方向に$\frac{\pi}{4}$だけ平行移動しています。

周期は$\pi$です。

(7) $y = \cos 2\theta$

コサイン関数の周期が半分になります。

周期は$\frac{2\pi}{2} = \pi$です。

(8) $y = \sin \frac{\theta}{2}$

サイン関数の周期が2倍になります。

周期は$\frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$です。

(9) $y = \tan 2\theta$

タンジェント関数の周期が半分になります。

周期は$\frac{\pi}{2}$です。

3. 最終的な答え

(1) グラフ: $y = \cos\theta$の振幅を2倍にしたもの。周期: $2\pi$

(2) グラフ: $y = \sin\theta$の振幅を1/2倍にしたもの。周期: $2\pi$

(3) グラフ: $y = \tan\theta$の傾きを1/2倍にしたもの。周期: $\pi$

(4) グラフ: $y = \cos\theta$を$\theta$方向に$\frac{\pi}{3}$だけ平行移動したもの。周期: $2\pi$

(5) グラフ: $y = \sin\theta$を$\theta$方向に$-\frac{\pi}{2}$だけ平行移動したもの。周期: $2\pi$

(6) グラフ: $y = \tan\theta$を$\theta$方向に$\frac{\pi}{4}$だけ平行移動したもの。周期: $\pi$

(7) グラフ: $y = \cos\theta$の周期を半分にしたもの。周期: $\pi$

(8) グラフ: $y = \sin\theta$の周期を2倍にしたもの。周期: $4\pi$

(9) グラフ: $y = \tan\theta$の周期を半分にしたもの。周期: $\frac{\pi}{2}$