関数 $f(x) = |x|$ が $x = 0$ で微分可能でないことを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x|$ が $x = 0$ で微分可能でないことを示す。

2. 解き方の手順

$x = 0$ における右側極限と左側極限を調べる。

右側極限は、$x > 0$ のとき $f(x) = x$ なので、

$\lim_{h \to +0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{|x+h| - |x|}{h}$

$x = 0$ なので、

$\lim_{h \to +0} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h}{h} = \lim_{h \to +0} 1 = 1$

左側極限は、$x < 0$ のとき $f(x) = -x$ なので、

$\lim_{h \to -0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{|x+h| - |x|}{h}$

$x = 0$ なので、$x+h < 0$ となり、

$\lim_{h \to -0} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-h}{h} = \lim_{h \to -0} -1 = -1$

右側極限と左側極限が一致しないため、$x=0$ で微分可能でない。

3. 最終的な答え

$x=0$ での右側極限は1、左側極限は-1となり、一致しないので、$f(x) = |x|$ は $x=0$ で微分可能でない。