スカラー場 $\varphi = x^2 \log y + x \sin(2z)$ と点 $P(-1, 1, 0)$ について、次の3つを求める問題です。 (a) $(\nabla \varphi)_P$ (点Pにおける $\varphi$ の勾配) (b) 点 $P$ における $(\nabla \varphi)_P$ の方向への方向微分係数 (c) 点 $P$ における $a=(1, 1, 1)$ の方向への方向微分係数

1. 問題の内容

スカラー場 $\varphi = x^2 \log y + x \sin(2z)$ と点 $P(-1, 1, 0)$ について、次の3つを求める問題です。

(a) $(\nabla \varphi)_P$ (点Pにおける $\varphi$ の勾配)

(b) 点 $P$ における $(\nabla \varphi)_P$ の方向への方向微分係数

(c) 点 $P$ における $a=(1, 1, 1)$ の方向への方向微分係数

2. 解き方の手順

(a) $(\nabla \varphi)_P$ を求める。

$\nabla \varphi = \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right)$ を計算し、点 $P(-1, 1, 0)$ における値を求めます。

まず、各偏微分を計算します。

$\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 2x \log y + \sin(2z)$

$\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{x^2}{y}$

$\frac{\partial \varphi}{\partial z} = 2x \cos(2z)$

次に、点 $P(-1, 1, 0)$ における値を計算します。

$\frac{\partial \varphi}{\partial x}(-1, 1, 0) = 2(-1) \log 1 + \sin(2 \cdot 0) = 2(-1) \cdot 0 + 0 = 0$

$\frac{\partial \varphi}{\partial y}(-1, 1, 0) = \frac{(-1)^2}{1} = 1$

$\frac{\partial \varphi}{\partial z}(-1, 1, 0) = 2(-1) \cos(2 \cdot 0) = -2 \cos(0) = -2$

よって、$(\nabla \varphi)_P = (0, 1, -2)$ となります。

(b) 点 $P$ における $(\nabla \varphi)_P$ の方向への方向微分係数を求める。

方向微分係数は、$(\nabla \varphi)_P$ の方向の単位ベクトルと $\nabla \varphi$ の内積で与えられます。しかし、この場合は$(\nabla \varphi)_P$自身の方向への方向微分を求めるので、これは$\|(\nabla \varphi)_P\|$に等しくなります。

$\|(\nabla \varphi)_P\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5}$

(c) 点 $P$ における $a=(1, 1, 1)$ の方向への方向微分係数を求める。

まず、$a$ の方向の単位ベクトル $\hat{a}$ を求めます。

$\|a\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

$\hat{a} = \frac{a}{\|a\|} = \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$

次に、方向微分係数を求めます。

$(\nabla \varphi)_P \cdot \hat{a} = (0, 1, -2) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + (-2) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{0 + 1 - 2}{\sqrt{3}} = \frac{-1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(a) $(\nabla \varphi)_P = (0, 1, -2)$

(b) 点 $P$ における $(\nabla \varphi)_P$ の方向への方向微分係数: $\sqrt{5}$

(c) 点 $P$ における $a=(1, 1, 1)$ の方向への方向微分係数: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$