放物線 $C_1: y=x^2+2$ と $C_2: y=x^2-8x+14$ の両方に接する直線 $l$ を考える。 (1) 直線 $l$ の方程式を求める。 (2) $C_1$, $C_2$, $l$ で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C_1: y=x^2+2$ と $C_2: y=x^2-8x+14$ の両方に接する直線 $l$ を考える。

(1) 直線 $l$ の方程式を求める。

(2) $C_1$, $C_2$, $l$ で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ の方程式を $y=ax+b$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接するための条件は、$x^2+2=ax+b$ が重解を持つことである。

$x^2-ax+(2-b)=0$ の判別式を $D_1$ とすると、$D_1 = a^2 - 4(2-b) = a^2+4b-8 = 0$。

$C_2$ と $l$ が接するための条件は、$x^2-8x+14=ax+b$ が重解を持つことである。

$x^2-(8+a)x+(14-b)=0$ の判別式を $D_2$ とすると、$D_2 = (8+a)^2 - 4(14-b) = 64+16a+a^2-56+4b = a^2+16a+4b+8 = 0$。

$a^2+4b-8=0$ より $4b = 8-a^2$。これを $a^2+16a+4b+8=0$ に代入すると、

$a^2+16a+8-a^2+8=0$。

$16a+16=0$ より $a=-1$。

$4b=8-(-1)^2=7$ より $b=\frac{7}{4}$。

したがって、$l$ の方程式は $y=-x+\frac{7}{4}$。

(2)

$C_1$ と $l$ の接点の $x$ 座標を求める。

$x^2+x+2-\frac{7}{4}=0$

$x^2+x+\frac{1}{4}=0$

$(x+\frac{1}{2})^2=0$ より $x=-\frac{1}{2}$。

$C_2$ と $l$ の接点の $x$ 座標を求める。

$x^2-8x+14=-x+\frac{7}{4}$

$x^2-7x+\frac{49}{4}=0$

$(x-\frac{7}{2})^2=0$ より $x=\frac{7}{2}$。

$C_1$ と $C_2$ の式をそれぞれ $y=f(x)$, $y=g(x)$ とすると、$f(x)=x^2+2$, $g(x)=x^2-8x+14$ である。

$C_1$, $C_2$, $l$ で囲まれた部分の面積は

$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}} (f(x) - (-x+\frac{7}{4}))dx - \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}} (g(x) - (-x+\frac{7}{4}))dx$

$= \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}} (x^2+x+\frac{1}{4})dx - \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}} (x^2-7x+\frac{49}{4})dx$

$= \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}} (8x - 12)dx$

$= [4x^2 - 12x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}$

$= (4(\frac{7}{2})^2 - 12(\frac{7}{2})) - (4(-\frac{1}{2})^2 - 12(-\frac{1}{2}))$

$= (4(\frac{49}{4}) - 42) - (4(\frac{1}{4}) + 6) = 49-42 - 1-6 = 0$

面積を求める別の方法：

$S=\int_{-1/2}^{7/2} |(x^2+2)-(-x+7/4)| dx + |\int_{-1/2}^{7/2}(x^2-8x+14)-(-x+7/4) dx| = \int_{-1/2}^{7/2} (x+1/2)^2dx -\int_{-1/2}^{7/2}(x-7/2)^2 dx$

$=\frac{1}{3}|(x+1/2)^3|_{-1/2}^{7/2}+\frac{1}{3}|(x-7/2)^3|_{-1/2}^{7/2}=\frac{1}{3}[(4)^3 - 0] + \frac{1}{3}|0 - (-4)^3| = \frac{64}{3} + \frac{64}{3} = \frac{128}{3}= \frac{216}{6}-\frac{4}{3}+ \frac{68}{3}$

$S = |\int_{-1/2}^{7/2}(C_1-l)dx - \int_{-1/2}^{7/2} (C_2 -l) dx| = |\int_{-1/2}^{7/2}(C_1 - C_2)dx|=|\int_{-1/2}^{7/2}8x-12|=\frac{64}{3}+8/3$

積分区間はそれぞれの放物線と直線$l$との接点の$x$座標であるので、$-1/2$から$7/2$までです。

求める面積は$S = \int_{-1/2}^{7/2} ((x^2+2)-(-x+7/4))dx - \int_{-1/2}^{7/2}(x^2-8x+14-(-x+7/4))dx = \int_{-1/2}^{7/2} x^2+x+1/4 - (x^2-7x+49/4)dx = \int_{-1/2}^{7/2}8x-12dx = [4x^2-12x]_{-1/2}^{7/2} = (4(49/4) - 12(7/2) )-(4(1/4) + 12/2) = 49 - 42 - 1 -6=0$.間違い。

$S=\int_{-1/2}^{7/2} |f(x) - l(x)| dx$, $l(x) = -x+7/4$, $f(x) = (x+1/2)^2 dx$, $g(x) = (x-7/2)^2$.

区間は変わらず。接点は重解を持たなといけない。

正しくは$|f-l| = x^2+x+1/4$.$y=-x+7/4; y' =x^2+x+1/4= 4/5$

区間の長さ＝$(7/2 - (-1/2) )$ = 4 なので面积$=\frac{4^3}{6}=64/6 = 32/3$

3. 最終的な答え

(1) $y=-x+\frac{7}{4}$

(2) $\frac{32}{3}$