$xy$平面において、曲線 $y = \cos{2x} (-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4})$ 上に定点 $A(0, 1)$ がある。$A$ と異なる動点 $P$ をこの曲線上にとり、$2$ 点 $A, P$ を通り $y$ 軸上に中心をもつ円の半径を $r$ とする。$P$ が曲線上を限りなく $A$ に近づくとき、$r$ の極限値を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面において、曲線 $y = \cos{2x} (-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4})$ 上に定点 $A(0, 1)$ がある。$A$ と異なる動点 $P$ をこの曲線上にとり、$2$ 点 $A, P$ を通り $y$ 軸上に中心をもつ円の半径を $r$ とする。$P$ が曲線上を限りなく $A$ に近づくとき、$r$ の極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ の座標を $(x, \cos{2x})$ とおく。円の中心は $y$ 軸上にあるので、その座標を $(0, k)$ とおく。点 $A(0, 1)$ と点 $P(x, \cos{2x})$ はともに円上にあるので、円の中心 $(0, k)$ からの距離は等しい。したがって、

$$x^2 + (\cos{2x} - k)^2 = (1 - k)^2$$

これを $k$ について解く。

$$x^2 + \cos^2{2x} - 2k\cos{2x} + k^2 = 1 - 2k + k^2$$

$$x^2 + \cos^2{2x} - 1 = 2k(\cos{2x} - 1)$$

$$k = \frac{x^2 + \cos^2{2x} - 1}{2(\cos{2x} - 1)}$$

ここで、$\cos^2{2x} - 1 = -\sin^2{2x}$ であるから、

$$k = \frac{x^2 - \sin^2{2x}}{2(\cos{2x} - 1)}$$

円の半径 $r$ は、中心 $(0, k)$ から点 $A(0, 1)$ までの距離であるから、$r = |1 - k|$ である。したがって、

$$r = \left| 1 - \frac{x^2 - \sin^2{2x}}{2(\cos{2x} - 1)} \right| = \left| \frac{2\cos{2x} - 2 - x^2 + \sin^2{2x}}{2(\cos{2x} - 1)} \right|$$

ここで、$\sin^2{2x} = 1 - \cos^2{2x}$ であるから、

$$r = \left| \frac{2\cos{2x} - 2 - x^2 + 1 - \cos^2{2x}}{2(\cos{2x} - 1)} \right| = \left| \frac{-\cos^2{2x} + 2\cos{2x} - 1 - x^2}{2(\cos{2x} - 1)} \right|$$

$$r = \left| \frac{-(\cos{2x} - 1)^2 - x^2}{2(\cos{2x} - 1)} \right| = \left| \frac{(\cos{2x} - 1)^2 + x^2}{2(1 - \cos{2x})} \right| = \frac{(\cos{2x} - 1)^2 + x^2}{2(1 - \cos{2x})}$$

$P$ が $A$ に近づくとき、$x \to 0$ であるから、$r$ の極限値を求める。

$\lim_{x \to 0} r = \lim_{x \to 0} \frac{(\cos{2x} - 1)^2 + x^2}{2(1 - \cos{2x})}$

ここで、$\cos{2x} = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \dots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \dots$

であるから、

$1 - \cos{2x} = 2x^2 - \frac{2}{3}x^4 + \dots$

$\cos{2x} - 1 = -2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \dots$

$(\cos{2x} - 1)^2 = (2x^2 - \frac{2}{3}x^4 + \dots)^2 = 4x^4 + O(x^6)$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{(\cos{2x} - 1)^2 + x^2}{2(1 - \cos{2x})} = \lim_{x \to 0} \frac{4x^4 + x^2}{2(2x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(4x^2 + 1)}{4x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{4x^2 + 1}{4} = \frac{1}{4}$

または、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{(\cos{2x} - 1)^2 + x^2}{2(1 - \cos{2x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2(\cos{2x} - 1)(-2\sin{2x}) + 2x}{4\sin{2x}} = \lim_{x \to 0} \frac{-4(\cos{2x} - 1)\sin{2x} + 2x}{4\sin{2x}}$

さらにロピタルの定理を用いる。

$= \lim_{x \to 0} \frac{-4(-2\sin{2x})\sin{2x} - 4(\cos{2x} - 1)(2\cos{2x}) + 2}{8\cos{2x}} = \lim_{x \to 0} \frac{8\sin^2{2x} - 8(\cos{2x} - 1)\cos{2x} + 2}{8\cos{2x}}$

$= \frac{8(0) - 8(1 - 1)(1) + 2}{8(1)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$