スカラー場 $\phi = x^2 \log y + x \sin 2z$ と点 $P(-1, 1, 0)$ について、以下のものを求めます。 (a) $(\nabla \phi)_P$ (b) 点 $P$ における $(\nabla \phi)_P$ の方向への方向微分係数 (c) 点 $P$ における $a = (1, 1, 1)$ の方向への方向微分係数

1. 問題の内容

スカラー場 $\phi = x^2 \log y + x \sin 2z$ と点 $P(-1, 1, 0)$ について、以下のものを求めます。

(a) $(\nabla \phi)_P$

(b) 点 $P$ における $(\nabla \phi)_P$ の方向への方向微分係数

(c) 点 $P$ における $a = (1, 1, 1)$ の方向への方向微分係数

2. 解き方の手順

(a) まず、$\nabla \phi$ を計算します。

$\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)$

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2x \log y + \sin 2z$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{x^2}{y}$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = 2x \cos 2z$

したがって、

$\nabla \phi = \left( 2x \log y + \sin 2z, \frac{x^2}{y}, 2x \cos 2z \right)$

次に、点 $P(-1, 1, 0)$ での $\nabla \phi$ を評価します。

$(\nabla \phi)_P = \left( 2(-1) \log 1 + \sin(2 \cdot 0), \frac{(-1)^2}{1}, 2(-1) \cos(2 \cdot 0) \right)$

$(\nabla \phi)_P = (2(-1) \cdot 0 + 0, \frac{1}{1}, 2(-1) \cdot 1) = (0, 1, -2)$

(b) 点 $P$ における $(\nabla \phi)_P$ の方向への方向微分係数は、$(\nabla \phi)_P$ の大きさ $|(\nabla \phi)_P|$ に等しくなります。

$|(\nabla \phi)_P| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5}$

(c) 点 $P$ における $a = (1, 1, 1)$ の方向への方向微分係数を求めます。

まず、$a$ を正規化して単位ベクトル $\hat{u}$ を求めます。

$|a| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

$\hat{u} = \frac{a}{|a|} = \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$

次に、方向微分係数は $(\nabla \phi)_P \cdot \hat{u}$ で与えられます。

$(\nabla \phi)_P \cdot \hat{u} = (0, 1, -2) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + (-2) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{0 + 1 - 2}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(a) $(\nabla \phi)_P = (0, 1, -2)$

(b) $|(\nabla \phi)_P| = \sqrt{5}$

(c) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$