問題は、不定積分 $\int x^2 \sqrt{x+2} dx$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、不定積分 $\int x^2 \sqrt{x+2} dx$ を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を用いて、積分を計算しやすい形に変形します。

$t = x + 2$ とおくと、$x = t - 2$ となり、$dx = dt$ が得られます。

この置換を元の積分に適用すると、

$\int x^2 \sqrt{x+2} dx = \int (t-2)^2 \sqrt{t} dt$

となります。

次に、$(t-2)^2$ を展開します。

$(t-2)^2 = t^2 - 4t + 4$

したがって、積分は

$\int (t^2 - 4t + 4) \sqrt{t} dt = \int (t^{5/2} - 4t^{3/2} + 4t^{1/2}) dt$

となります。

次に、各項を積分します。

$\int t^{5/2} dt = \frac{2}{7}t^{7/2} + C_1$

$\int -4t^{3/2} dt = -4 \cdot \frac{2}{5}t^{5/2} + C_2 = -\frac{8}{5}t^{5/2} + C_2$

$\int 4t^{1/2} dt = 4 \cdot \frac{2}{3}t^{3/2} + C_3 = \frac{8}{3}t^{3/2} + C_3$

これらの結果をまとめると、

$\int (t^{5/2} - 4t^{3/2} + 4t^{1/2}) dt = \frac{2}{7}t^{7/2} - \frac{8}{5}t^{5/2} + \frac{8}{3}t^{3/2} + C$

となります。ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ は積分定数です。

最後に、$t = x+2$ を代入して、元の変数 $x$ で表します。

$\frac{2}{7}(x+2)^{7/2} - \frac{8}{5}(x+2)^{5/2} + \frac{8}{3}(x+2)^{3/2} + C$

これを整理するために、$(x+2)^{3/2}$で括り出すことを考えます。

$(x+2)^{3/2} \left[ \frac{2}{7}(x+2)^2 - \frac{8}{5}(x+2) + \frac{8}{3} \right] + C$

$(x+2)^{3/2} \left[ \frac{2}{7}(x^2 + 4x + 4) - \frac{8}{5}(x+2) + \frac{8}{3} \right] + C$

$(x+2)^{3/2} \left[ \frac{2}{7}x^2 + \frac{8}{7}x + \frac{8}{7} - \frac{8}{5}x - \frac{16}{5} + \frac{8}{3} \right] + C$

$(x+2)^{3/2} \left[ \frac{2}{7}x^2 + \left(\frac{8}{7} - \frac{8}{5}\right)x + \left(\frac{8}{7} - \frac{16}{5} + \frac{8}{3}\right) \right] + C$

$(x+2)^{3/2} \left[ \frac{2}{7}x^2 + \left(\frac{40-56}{35}\right)x + \left(\frac{120 - 336 + 280}{105}\right) \right] + C$

$(x+2)^{3/2} \left[ \frac{2}{7}x^2 - \frac{16}{35}x + \frac{64}{105} \right] + C$

$\frac{2}{105}(x+2)^{3/2} \left[ 15x^2 - 24x + 32 \right] + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{105}(x+2)^{3/2} (15x^2 - 24x + 32) + C$