次の定積分を計算します。 $\int_{-1}^{1} (e^x + e^{-x}) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} (e^x + e^{-x}) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を分割します。

$\int_{-1}^{1} (e^x + e^{-x}) dx = \int_{-1}^{1} e^x dx + \int_{-1}^{1} e^{-x} dx$

次に、それぞれの積分を計算します。

$\int e^x dx = e^x + C$

$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$

それぞれの積分に積分区間を適用します。

$\int_{-1}^{1} e^x dx = [e^x]_{-1}^{1} = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$

$\int_{-1}^{1} e^{-x} dx = [-e^{-x}]_{-1}^{1} = -e^{-1} - (-e^{-(-1)}) = -e^{-1} + e^1 = e - \frac{1}{e}$

最後に、2つの積分結果を足し合わせます。

$\int_{-1}^{1} (e^x + e^{-x}) dx = (e - \frac{1}{e}) + (e - \frac{1}{e}) = 2e - \frac{2}{e} = 2(e - \frac{1}{e})$

3. 最終的な答え

$2e - \frac{2}{e}$