与えられた積分を計算します。積分は $\int x^2 \sqrt{x+2} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は $\int x^2 \sqrt{x+2} dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = x+2$ と置くと、$x = u-2$ となり、$dx = du$ となります。

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int (u-2)^2 \sqrt{u} du$

$(u-2)^2$ を展開します。

$\int (u^2 - 4u + 4) \sqrt{u} du$

$\sqrt{u} = u^{1/2}$ なので、積分は次のようになります。

$\int (u^2 - 4u + 4) u^{1/2} du$

分配法則を使って展開します。

$\int (u^{5/2} - 4u^{3/2} + 4u^{1/2}) du$

それぞれの項を積分します。

$\int u^{5/2} du - 4 \int u^{3/2} du + 4 \int u^{1/2} du$

各項の積分は次のようになります。

$\int u^{5/2} du = \frac{2}{7} u^{7/2} + C_1$

$\int u^{3/2} du = \frac{2}{5} u^{5/2} + C_2$

$\int u^{1/2} du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C_3$

したがって、積分は次のようになります。

$\frac{2}{7} u^{7/2} - 4 \cdot \frac{2}{5} u^{5/2} + 4 \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C$

$\frac{2}{7} u^{7/2} - \frac{8}{5} u^{5/2} + \frac{8}{3} u^{3/2} + C$

$u = x+2$ を代入します。

$\frac{2}{7} (x+2)^{7/2} - \frac{8}{5} (x+2)^{5/2} + \frac{8}{3} (x+2)^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{7}(x+2)^{7/2} - \frac{8}{5}(x+2)^{5/2} + \frac{8}{3}(x+2)^{3/2} + C$