$ \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{5}{4}\pi $ の範囲で、関数 $f(x) = 2\sin 2x + a(\sin x + \cos x) - 1$ を考える。ただし、$a$は正の定数とする。 (1) $t = \sin x + \cos x$ とおくとき、$f(x)$を$t$の式で表す。 (2) $t$のとりうる値の範囲を求める。 (3) $f(x)$の最大値と最小値を、$a$の値の範囲によって場合分けして求める。

解析学三角関数最大値最小値置換積分二次関数
2025/7/4

1. 問題の内容

π4x54π \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{5}{4}\pi の範囲で、関数 f(x)=2sin2x+a(sinx+cosx)1f(x) = 2\sin 2x + a(\sin x + \cos x) - 1 を考える。ただし、aaは正の定数とする。
(1) t=sinx+cosxt = \sin x + \cos x とおくとき、f(x)f(x)ttの式で表す。
(2) ttのとりうる値の範囲を求める。
(3) f(x)f(x)の最大値と最小値を、aaの値の範囲によって場合分けして求める。

2. 解き方の手順

(1) t=sinx+cosxt = \sin x + \cos x より、t2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+2sinxcosx=1+sin2xt^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x となる。よって、sin2x=t21 \sin 2x = t^2 - 1
したがって、f(x)=2sin2x+a(sinx+cosx)1=2(t21)+at1=2t2+at3f(x) = 2\sin 2x + a(\sin x + \cos x) - 1 = 2(t^2 - 1) + at - 1 = 2t^2 + at - 3
(2) t=sinx+cosx=2sin(x+π4)t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})
π4x54π\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{5}{4}\pi なので、π2x+π432π\frac{\pi}{2} \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{3}{2}\pi
したがって、1sin(x+π4)1-1 \leq \sin(x + \frac{\pi}{4}) \leq 1
x+π4=32πx + \frac{\pi}{4} = \frac{3}{2} \pi のとき、sin(x+π4)=1\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1 となる。
x+π4=π2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} のとき、sin(x+π4)=1\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 となる。
最小値は 2(1)=2\sqrt{2}(-1) = -\sqrt{2}
最大値は x+π4=πx + \frac{\pi}{4} = \pi のとき、sin(x+π4)=0\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 0
x=34πx = \frac{3}{4}\pi であり、このとき、t=0t = 0
x=π4x = \frac{\pi}{4} のとき、x+π4=π2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} であり、sin(x+π4)=1\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1
このとき、t=2t = \sqrt{2}
したがって、2t2 -\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}
(3) f(x)=2t2+at3=2(t+a4)23a28f(x) = 2t^2 + at - 3 = 2(t + \frac{a}{4})^2 - 3 - \frac{a^2}{8}
軸は t=a4t = -\frac{a}{4}
2t2-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} で考える。
(i) 0<a<420 < a < 4\sqrt{2} のとき、2a40-\sqrt{2} \leq -\frac{a}{4} \leq 0
最大値は t=2t = \sqrt{2} のとき、2(2)2+a23=4+2a3=1+2a2(\sqrt{2})^2 + a\sqrt{2} - 3 = 4 + \sqrt{2}a - 3 = 1 + \sqrt{2}a
最小値は t=a4t = -\frac{a}{4} のとき、3a28-3 - \frac{a^2}{8}
2<a4<2-\sqrt{2} < -\frac{a}{4} < \sqrt{2} より、0<a<420 < a < 4\sqrt{2}
0<a<420 < a < 4\sqrt{2} より、t=a4t = -\frac{a}{4} は範囲内なので、f(x)f(x)の最小値は 3a28-3 - \frac{a^2}{8}
a>42a > 4\sqrt{2} ならば、t=2t = -\sqrt{2} で最小値をとるので、f(x)f(x)の最小値は、2(2)2a23=42a3=12a2(-\sqrt{2})^2 - a\sqrt{2} - 3 = 4 - \sqrt{2}a - 3 = 1 - \sqrt{2}a
(ii) a42a \geq 4\sqrt{2} のとき、 2t2-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} なので、軸 t=a42t = -\frac{a}{4} \leq -\sqrt{2}
したがって、最大値は t=2t = \sqrt{2} のとき、1+2a1 + \sqrt{2}a
最小値は t=2t = -\sqrt{2} のとき、12a1 - \sqrt{2}a

3. 最終的な答え

(1) 2t2+at32t^2 + at - 3
(2) 2t2-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}
(3) (i) 0<a<420 < a < 4\sqrt{2} のとき、最大値は 1+2a1 + \sqrt{2}a、最小値は a283-\frac{a^2}{8} - 3
(ii) a42a \geq 4\sqrt{2} のとき、最大値は 1+2a1 + \sqrt{2}a、最小値は 12a1 - \sqrt{2}a

「解析学」の関連問題

与えられた関数の定義域における最大値と最小値を求める問題です。以下の4つの関数について考えます。 (1) $y = x + 1$ ($-1 \le x \le 3$) (2) $y = -2x - 2...

関数の最大値関数の最小値一次関数定義域
2025/7/4

関数 $y = 3^x$ のグラフを描く問題です。

指数関数グラフ漸近線
2025/7/4

$e^x + e^{-x}$ の分母分子に $e^x$ を掛けると、 $$ \frac{1}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^x}{e^{2x} + 1} $$

広義積分置換積分部分積分定積分arctanlog関数
2025/7/4

$0 \le x \le \pi$ の範囲において、次の関数の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。 (1) $y = \sin x + 1$ (2) $y = 2\cos(x +...

三角関数最大値最小値関数のグラフ
2025/7/4

はい、承知いたしました。問題を一つずつ解いていきます。

定積分面積二次関数グラフ
2025/7/4

放物線 $C_1: y=x^2-4x+1$ と $C_2: y=x^2+2x-5$ が与えられています。 (1) $C_1$ と $C_2$ の交点の座標を求めます。 (2) $C_1$ と $C_2...

放物線交点接線面積積分
2025/7/4

不定積分 $\int \frac{1}{(3x+2)^3} dx$ を求める問題です。

不定積分置換積分積分
2025/7/4

与えられた2つの不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。 一つ目の積分は $\int (\cos 2x + \tan 4x) dx$ です。 二つ目の積分は $\int (a^x + b^{2x}) ...

積分不定積分三角関数指数関数対数関数
2025/7/4

与えられた積分 $\int \frac{1}{4 + x^2} dx$ を計算し、解答欄の形式 $\frac{\text{ア}}{\text{イ}} \tan^{-1}\frac{x}{\text{エ...

積分不定積分逆正接関数
2025/7/4

与えられた不定積分 $ \int xe^{x^2} dx $ を計算し、$ \frac{ア}{イ}e^{x^ウ}+C $ の形式で表す問題です。

積分不定積分置換積分指数関数
2025/7/4