$ \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{5}{4}\pi $ の範囲で、関数 $f(x) = 2\sin 2x + a(\sin x + \cos x) - 1$ を考える。ただし、$a$は正の定数とする。 (1) $t = \sin x + \cos x$ とおくとき、$f(x)$を$t$の式で表す。 (2) $t$のとりうる値の範囲を求める。 (3) $f(x)$の最大値と最小値を、$a$の値の範囲によって場合分けして求める。
2025/7/4
1. 問題の内容
の範囲で、関数 を考える。ただし、は正の定数とする。
(1) とおくとき、をの式で表す。
(2) のとりうる値の範囲を求める。
(3) の最大値と最小値を、の値の範囲によって場合分けして求める。
2. 解き方の手順
(1) より、 となる。よって、。
したがって、。
(2) 。
なので、。
したがって、。
のとき、 となる。
のとき、 となる。
最小値は 。
最大値は のとき、。
であり、このとき、。
のとき、 であり、。
このとき、。
したがって、。
(3) 。
軸は 。
で考える。
(i) のとき、。
最大値は のとき、。
最小値は のとき、。
より、。
より、 は範囲内なので、の最小値は 。
ならば、 で最小値をとるので、の最小値は、。
(ii) のとき、 なので、軸 。
したがって、最大値は のとき、。
最小値は のとき、。
3. 最終的な答え
(1)
(2)
(3) (i) のとき、最大値は 、最小値は
(ii) のとき、最大値は 、最小値は