関数 $f(x) = \frac{2x^2 + 9x + 5}{2x^3 + x + 5}$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=-1$ での値を計算してください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x^2 + 9x + 5}{2x^3 + x + 5}$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=-1$ での値を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、商の微分公式を使います。商の微分公式は、関数 $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ の導関数が

$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$

で与えられるというものです。

この問題では、$g(x) = 2x^2 + 9x + 5$、$h(x) = 2x^3 + x + 5$ です。

それぞれの導関数を計算します。

$g'(x) = 4x + 9$

$h'(x) = 6x^2 + 1$

したがって、$f'(x)$ は次のようになります。

$f'(x) = \frac{(4x+9)(2x^3+x+5) - (2x^2+9x+5)(6x^2+1)}{(2x^3+x+5)^2}$

次に、$f'(-1)$ を計算するために、$x = -1$ を代入します。

$g(-1) = 2(-1)^2 + 9(-1) + 5 = 2 - 9 + 5 = -2$

$h(-1) = 2(-1)^3 + (-1) + 5 = -2 - 1 + 5 = 2$

$g'(-1) = 4(-1) + 9 = -4 + 9 = 5$

$h'(-1) = 6(-1)^2 + 1 = 6 + 1 = 7$

$f'(-1) = \frac{5(2) - (-2)(7)}{2^2} = \frac{10 + 14}{4} = \frac{24}{4} = 6$

3. 最終的な答え

$f'(-1) = 6$