関数 $f(x) = (5x^3 + 4x + 1)^6 + 4$ の導関数 $f'(x)$ を求め、$x=0$ における導関数の値 $f'(0)$ を計算する問題です。

解析学微分導関数合成関数の微分チェーンルール
2025/7/4

1. 問題の内容

関数 f(x)=(5x3+4x+1)6+4f(x) = (5x^3 + 4x + 1)^6 + 4 の導関数 f(x)f'(x) を求め、x=0x=0 における導関数の値 f(0)f'(0) を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 f(x)f(x) を微分します。合成関数の微分法(チェーンルール)を用いると、
f(x)=6(5x3+4x+1)5(15x2+4)f'(x) = 6(5x^3 + 4x + 1)^5 \cdot (15x^2 + 4)
次に、x=0x=0 を代入して f(0)f'(0) を求めます。
f(0)=6(5(0)3+4(0)+1)5(15(0)2+4)f'(0) = 6(5(0)^3 + 4(0) + 1)^5 \cdot (15(0)^2 + 4)
f(0)=6(1)5(4)f'(0) = 6(1)^5 \cdot (4)
f(0)=614f'(0) = 6 \cdot 1 \cdot 4
f(0)=24f'(0) = 24

3. 最終的な答え

f(0)=24f'(0) = 24

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