関数 $f(x) = (3x^2 + 4\sqrt{x})^2$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=0$ における値 $f'(0)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (3x^2 + 4\sqrt{x})^2$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=0$ における値 $f'(0)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を展開します。

$f(x) = (3x^2 + 4\sqrt{x})^2 = (3x^2)^2 + 2(3x^2)(4\sqrt{x}) + (4\sqrt{x})^2$

$f(x) = 9x^4 + 24x^{5/2} + 16x$

次に、$f(x)$を微分して$f'(x)$を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(9x^4 + 24x^{5/2} + 16x)$

$f'(x) = 36x^3 + 24 \cdot \frac{5}{2} x^{3/2} + 16$

$f'(x) = 36x^3 + 60x^{3/2} + 16$

最後に、$f'(0)$の値を計算します。

$f'(0) = 36(0)^3 + 60(0)^{3/2} + 16$

$f'(0) = 0 + 0 + 16$

$f'(0) = 16$

3. 最終的な答え

$f'(0) = 16$