関数 $f(x) = (3x^2 + 4\sqrt{x})^2$ の導関数 $f'(x)$ を求め、$x=0$ における $f'(0)$ の値を計算します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (3x^2 + 4\sqrt{x})^2$ の導関数 $f'(x)$ を求め、$x=0$ における $f'(0)$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分します。合成関数の微分法（チェーンルール）を用いると、

$$f'(x) = 2(3x^2 + 4\sqrt{x}) (6x + \frac{4}{2\sqrt{x}})$$

$$f'(x) = 2(3x^2 + 4\sqrt{x}) (6x + \frac{2}{\sqrt{x}})$$

次に、$f'(0)$ を計算します。

$$f'(0) = 2(3(0)^2 + 4\sqrt{0}) (6(0) + \frac{2}{\sqrt{0}})$$

$$f'(0) = 2(0 + 0) (0 + \frac{2}{0})$$

$x = 0$ を代入すると$\frac{2}{\sqrt{0}}$　となり、定義できないので、極限をとることを考えます。

$f'(x)$を整理すると、

$$f'(x) = 2(3x^2 + 4x^{1/2}) (6x + 2x^{-1/2})$$

$$f'(x) = 2(18x^3 + 6x^{3/2} + 24x^{3/2} + 8x^0)$$

$$f'(x) = 2(18x^3 + 30x^{3/2} + 8)$$

$$f'(x) = 36x^3 + 60x^{3/2} + 16$$

$x$ が0に近づくとき、$f'(x)$ の極限を求めます。

$$\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} (36x^3 + 60x^{3/2} + 16)$$

$x=0$を代入すると、

$$f'(0) = 36(0)^3 + 60(0)^{3/2} + 16 = 0 + 0 + 16 = 16$$

3. 最終的な答え

$f'(0) = 16$