与えられた関数 $f(x) = (5x^3 + 4x + 1)^6 + 4$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x = 0$ における値 $f'(0)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = (5x^3 + 4x + 1)^6 + 4$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x = 0$ における値 $f'(0)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = (5x^3 + 4x + 1)^6 + 4$ なので、合成関数の微分法を使います。

$u(x) = 5x^3 + 4x + 1$ とすると、$f(x) = u(x)^6 + 4$ です。

$f'(x) = 6u(x)^5 \cdot u'(x)$ となります。

次に、$u(x)$ の導関数 $u'(x)$ を計算します。

$u(x) = 5x^3 + 4x + 1$ なので、

$u'(x) = 15x^2 + 4$

したがって、

$f'(x) = 6(5x^3 + 4x + 1)^5 \cdot (15x^2 + 4)$

$f'(0)$ を求めるために、$x = 0$ を代入します。

$f'(0) = 6(5(0)^3 + 4(0) + 1)^5 \cdot (15(0)^2 + 4)$

$f'(0) = 6(0 + 0 + 1)^5 \cdot (0 + 4)$

$f'(0) = 6(1)^5 \cdot (4)$

$f'(0) = 6 \cdot 1 \cdot 4$

$f'(0) = 24$

3. 最終的な答え

$f'(0) = 24$