与えられた関数を微分する問題です。 (9) $y = \tan(\sqrt{1-x})$ (10) $y = \log(\sqrt{x^2+1}+x)$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(9) $y = \tan(\sqrt{1-x})$

(10) $y = \log(\sqrt{x^2+1}+x)$

2. 解き方の手順

(9) $y = \tan(\sqrt{1-x})$ の微分

まず、$u = \sqrt{1-x}$ とおくと、$y = \tan(u)$ となります。合成関数の微分を用いて、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\tan(u)) = \frac{1}{\cos^2(u)}$

$u = \sqrt{1-x} = (1-x)^{\frac{1}{2}}$なので、

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}(1-x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{1-x})} \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}\cos^2(\sqrt{1-x})}$

(10) $y = \log(\sqrt{x^2+1}+x)$ の微分

$u = \sqrt{x^2+1}+x$ とおくと、$y = \log(u)$ となります。合成関数の微分を用いて、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\log(u)) = \frac{1}{u}$

$u = \sqrt{x^2+1}+x$ なので、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+1}+x) = \frac{d}{dx}((x^2+1)^{\frac{1}{2}} + x) = \frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x + 1 = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + 1 = \frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \cdot \frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

3. 最終的な答え

(9) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}\cos^2(\sqrt{1-x})}$

(10) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$