$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$, $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}$, $\log_{\frac{1}{8}} 3$ の３つの値を小さい順に並べ替える問題です。

1. 問題の内容

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$, $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}$, $\log_{\frac{1}{8}} 3$ の３つの値を小さい順に並べ替える問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの対数の値を計算しやすくするために、底を3に変換します。

対数の底の変換公式は以下の通りです。

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

1つ目の対数から計算します。

$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9} = \frac{\log_3 \frac{1}{9}}{\log_3 \frac{1}{2}} = \frac{\log_3 3^{-2}}{\log_3 2^{-1}} = \frac{-2}{-\log_3 2} = \frac{2}{\log_3 2}$$

2つ目の対数も同様に計算します。

$$\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3} = \frac{\log_3 \frac{1}{3}}{\log_3 \frac{1}{4}} = \frac{\log_3 3^{-1}}{\log_3 4^{-1}} = \frac{-1}{-\log_3 4} = \frac{1}{\log_3 4} = \frac{1}{\log_3 2^2} = \frac{1}{2\log_3 2}$$

3つ目の対数も同様に計算します。

$$\log_{\frac{1}{8}} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 \frac{1}{8}} = \frac{\log_3 3}{\log_3 8^{-1}} = \frac{1}{-\log_3 8} = \frac{1}{-\log_3 2^3} = \frac{1}{-3\log_3 2} = -\frac{1}{3\log_3 2}$$

ここで、$A = \log_3 2$と置くと、それぞれの対数の値は以下のようになります。

$\frac{2}{A}$, $\frac{1}{2A}$, $-\frac{1}{3A}$

$0 < 2 < 3$ より、$\log_3 2 < \log_3 3 = 1$ なので、$A < 1$。また、$2 > 1$より$\log_3 2 > 0$ なので、$A > 0$。したがって、$A > 0$。

$-\frac{1}{3A}$ は負の値であり、$\frac{2}{A}$ と $\frac{1}{2A}$ は正の値なので、$-\frac{1}{3A}$ が最も小さい値です。

$\frac{2}{A}$ と $\frac{1}{2A}$ を比較すると、$\frac{2}{A} > \frac{1}{2A}$ であるため、$\frac{1}{2A}$ が$\frac{2}{A}$ よりも小さい値です。

よって、小さい順に並べると、$\log_{\frac{1}{8}} 3$, $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}$, $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$ となります。

3. 最終的な答え

$\log_{\frac{1}{8}} 3, \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}, \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}$