関数 $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ の $ \frac{1}{81} < x \leq 9 $ における値域を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ の $\frac{1}{81} < x \leq 9$ における値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の範囲が $\frac{1}{81} < x \leq 9$ であることを確認します。

次に、底が $\frac{1}{3}$ である対数関数は減少関数であることに注意します。つまり、$x$ が増加すると $y$ は減少します。

$x$ の範囲の端の値を代入して、$y$ の範囲を求めます。

$x = \frac{1}{81}$ のとき、 $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{81}$ を計算します。

$\frac{1}{81} = (\frac{1}{3})^4$ であるので、$y = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^4 = 4$ となります。

ただし、$x = \frac{1}{81}$ は範囲に含まれないため、$y < 4$ となります。

$x = 9$ のとき、$y = \log_{\frac{1}{3}} 9$ を計算します。

$9 = 3^2 = (\frac{1}{3})^{-2}$ であるので、$y = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-2} = -2$ となります。

$x=9$ は範囲に含まれるため、$y = -2$ も範囲に含まれます。

よって、$\log_{\frac{1}{3}} x$ は減少関数であるため、$\frac{1}{81} < x \leq 9$ のとき、$-2 \leq y < 4$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 \leq y < 4$