与えられた５つの微分積分を計算する問題です。 (1) $\frac{d}{dx} \sin^2 x$ (2) $\frac{d}{dx} \sin x \cos x$ (3) $\int \sin x \cos x dx$ (4) $\int \frac{dx}{\tan x}$ (5) $\int \cos (2x) dx$

1. 問題の内容

与えられた５つの微分積分を計算する問題です。

(1) $\frac{d}{dx} \sin^2 x$

(2) $\frac{d}{dx} \sin x \cos x$

(3) $\int \sin x \cos x dx$

(4) $\int \frac{dx}{\tan x}$

(5) $\int \cos (2x) dx$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分公式を用います。$y = u^2, u = \sin x$ とおくと、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$です。

$\frac{dy}{du} = 2u$, $\frac{du}{dx} = \cos x$ なので、$\frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos x = \sin(2x)$

(2) 積の微分公式を用います。$(uv)' = u'v + uv'$ なので、$(\sin x \cos x)' = (\sin x)' \cos x + \sin x (\cos x)' = \cos x \cos x + \sin x (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$

(3) $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin (2x)$ なので、$\int \sin x \cos x dx = \int \frac{1}{2} \sin (2x) dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x) dx = \frac{1}{2} (-\frac{1}{2} \cos (2x)) + C = - \frac{1}{4} \cos (2x) + C$。ただし、$C$は積分定数です。

あるいは、$\int \sin x \cos x dx$ において、$u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x dx$ なので、$\int \sin x \cos x dx = \int u du = \frac{1}{2} u^2 + C = \frac{1}{2} \sin^2 x + C$。同様に、$u = \cos x$ とおくと、$du = - \sin x dx$ なので、$\int \sin x \cos x dx = - \int u du = - \frac{1}{2} u^2 + C = - \frac{1}{2} \cos^2 x + C$

$\frac{1}{2} \sin^2 x = \frac{1}{2} \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (2x)$, $- \frac{1}{2} \cos^2 x = - \frac{1}{2} \frac{1 + \cos(2x)}{2} = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (2x)$

(4) $\int \frac{dx}{\tan x} = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx$ において、$u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x dx$ なので、$\int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |\sin x| + C$。ただし、$C$は積分定数です。

(5) $\int \cos (2x) dx = \frac{1}{2} \sin (2x) + C$。ただし、$C$は積分定数です。

3. 最終的な答え

(1) $\sin(2x)$

(2) $\cos(2x)$

(3) $-\frac{1}{4} \cos(2x) + C$ (もしくは $\frac{1}{2} \sin^2 x + C$ もしくは $- \frac{1}{2} \cos^2 x + C$)

(4) $\ln |\sin x| + C$

(5) $\frac{1}{2} \sin(2x) + C$