半径1の円周上に定点Aがあり、中心をOとする。OAに直交する弦PQを取り、$\angle POA = \theta$ とする($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)。三角形APQの面積を$S(\theta)$で表すとき、$\lim_{\theta \to +0} \frac{S(\theta)}{S(\frac{\theta}{2})}$ を求めよ。

解析学極限三角関数面積微分積分
2025/7/2

1. 問題の内容

半径1の円周上に定点Aがあり、中心をOとする。OAに直交する弦PQを取り、POA=θ\angle POA = \theta とする(0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2})。三角形APQの面積をS(θ)S(\theta)で表すとき、limθ+0S(θ)S(θ2)\lim_{\theta \to +0} \frac{S(\theta)}{S(\frac{\theta}{2})} を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形APQの面積S(θ)S(\theta)θ\thetaを用いて表す。
点Aの座標を(1, 0)とする。点Pの座標は(cosθ,sinθ)(\cos\theta, \sin\theta)、点Qの座標は(cosθ,sinθ)(\cos\theta, -\sin\theta)となる。
したがって、線分PQの長さは、PQ=2sinθPQ = 2\sin\thetaである。
点Aから線分PQまでの距離は、1cosθ1-\cos\thetaである。
よって、三角形APQの面積S(θ)S(\theta)は、
S(θ)=12PQ(1cosθ)=122sinθ(1cosθ)=sinθ(1cosθ)S(\theta) = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot (1-\cos\theta) = \frac{1}{2} \cdot 2\sin\theta \cdot (1-\cos\theta) = \sin\theta(1-\cos\theta)
次に、S(θ2)S(\frac{\theta}{2})を求める。
S(θ2)=sinθ2(1cosθ2)S(\frac{\theta}{2}) = \sin\frac{\theta}{2}(1-\cos\frac{\theta}{2})
求める極限は、
limθ+0S(θ)S(θ2)=limθ+0sinθ(1cosθ)sinθ2(1cosθ2)\lim_{\theta \to +0} \frac{S(\theta)}{S(\frac{\theta}{2})} = \lim_{\theta \to +0} \frac{\sin\theta(1-\cos\theta)}{\sin\frac{\theta}{2}(1-\cos\frac{\theta}{2})}
ここで、1cosθ=2sin2θ21-\cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}を用いると、
limθ+0sinθ(1cosθ)sinθ2(1cosθ2)=limθ+0sinθ2sin2θ2sinθ22sin2θ4=limθ+0sinθsinθ2sin2θ4\lim_{\theta \to +0} \frac{\sin\theta(1-\cos\theta)}{\sin\frac{\theta}{2}(1-\cos\frac{\theta}{2})} = \lim_{\theta \to +0} \frac{\sin\theta \cdot 2\sin^2\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2} \cdot 2\sin^2\frac{\theta}{4}} = \lim_{\theta \to +0} \frac{\sin\theta \cdot \sin\frac{\theta}{2}}{\sin^2\frac{\theta}{4}}
θ0\theta \to 0のとき、sinθθ\sin\theta \approx \thetaなので、
limθ+0sinθsinθ2sin2θ4=limθ+0θθ2(θ4)2=limθ+0θ22θ216=limθ+01216=8\lim_{\theta \to +0} \frac{\sin\theta \cdot \sin\frac{\theta}{2}}{\sin^2\frac{\theta}{4}} = \lim_{\theta \to +0} \frac{\theta \cdot \frac{\theta}{2}}{(\frac{\theta}{4})^2} = \lim_{\theta \to +0} \frac{\frac{\theta^2}{2}}{\frac{\theta^2}{16}} = \lim_{\theta \to +0} \frac{1}{2} \cdot 16 = 8

3. 最終的な答え

8

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