半径1の円周上に定点Aがあり、中心をOとする。OAに直交する弦PQを取り、$\angle POA = \theta$ とする($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)。三角形APQの面積を$S(\theta)$で表すとき、$\lim_{\theta \to +0} \frac{S(\theta)}{S(\frac{\theta}{2})}$ を求めよ。
2025/7/2
1. 問題の内容
半径1の円周上に定点Aがあり、中心をOとする。OAに直交する弦PQを取り、 とする()。三角形APQの面積をで表すとき、 を求めよ。
2. 解き方の手順
まず、三角形APQの面積をを用いて表す。
点Aの座標を(1, 0)とする。点Pの座標は、点Qの座標はとなる。
したがって、線分PQの長さは、である。
点Aから線分PQまでの距離は、である。
よって、三角形APQの面積は、
次に、を求める。
求める極限は、
ここで、を用いると、
のとき、なので、
3. 最終的な答え
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