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与えられた定積分を計算します。 積分は以下の通りです。 $\int_1^e \sqrt{1 + \left( \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}}{2} \right)^2} dx$

解析学定積分積分計算関数の積分
2025/6/29

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。
積分は以下の通りです。
∫1e1+(x12−x−122)2dx\int_1^e \sqrt{1 + \left( \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}}{2} \right)^2} dx

2. 解き方の手順

まず、積分の中の式を簡略化します。
1+(x12−x−122)2=1+x−2+x−14=4+x−2+x−14=x+2+x−14=(x12+x−12)241 + \left( \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}}{2} \right)^2 = 1 + \frac{x - 2 + x^{-1}}{4} = \frac{4 + x - 2 + x^{-1}}{4} = \frac{x + 2 + x^{-1}}{4} = \frac{(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})^2}{4}
したがって、
1+(x12−x−122)2=(x12+x−12)24=x12+x−122\sqrt{1 + \left( \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})^2}{4}} = \frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}}{2}
次に、積分を計算します。
∫1ex12+x−122dx=12∫1e(x12+x−12)dx=12[23x32+2x12]1e\int_1^e \frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}}{2} dx = \frac{1}{2} \int_1^e (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}) dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} \right]_1^e
12[(23e32+2e12)−(23(1)32+2(1)12)]=12[23e32+2e12−23−2]=12[23e32+2e12−83]=13e32+e12−43\frac{1}{2} \left[ \left( \frac{2}{3}e^{\frac{3}{2}} + 2e^{\frac{1}{2}} \right) - \left( \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} + 2(1)^{\frac{1}{2}} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}e^{\frac{3}{2}} + 2e^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} - 2 \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}e^{\frac{3}{2}} + 2e^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3} \right] = \frac{1}{3}e^{\frac{3}{2}} + e^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{3}

3. 最終的な答え

13e32+e12−43\frac{1}{3}e^{\frac{3}{2}} + e^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{3}

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