媒介変数表示された曲線 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) について、定積分 $\int_0^1 y \, dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) について、定積分 $\int_0^1 y \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$dx$ を $dt$ で表します。$x = \sin t$ より、$\frac{dx}{dt} = \cos t$ なので、$dx = \cos t \, dt$ となります。

次に、積分の範囲を $t$ の範囲に変換します。$x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化します。なぜなら、$x = \sin t$ であり、$\sin 0 = 0$、$\sin \frac{\pi}{2} = 1$ であるからです。

したがって、定積分は次のように書き換えられます。

$$\int_0^1 y \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t \cdot \cos t \, dt$$

$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ であるから、

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t \cdot \cos t \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin t \cos^2 t \, dt$$

ここで、置換積分を行います。$u = \cos t$ とおくと、$\frac{du}{dt} = -\sin t$ より、$du = -\sin t \, dt$ となります。また、$t$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化するとき、$u$ は $1$ から $0$ まで変化します。

したがって、

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin t \cos^2 t \, dt = \int_1^0 2 u^2 (-du) = -2 \int_1^0 u^2 \, du = 2 \int_0^1 u^2 \, du$$

$$2 \int_0^1 u^2 \, du = 2 \left[ \frac{1}{3} u^3 \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1}{3} \cdot 1^3 - \frac{1}{3} \cdot 0^3 \right) = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$