次の極限値を求める問題です。 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{1 + \frac{1}{n}} - \sqrt[3]{1 - \frac{1}{n}})n$

1. 問題の内容

次の極限値を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{1 + \frac{1}{n}} - \sqrt[3]{1 - \frac{1}{n}})n$

2. 解き方の手順

まず、$x = \frac{1}{n}$ と置くと、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ となるので、極限は以下のように書き換えられます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x}}{x}$

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\sqrt[3]{1+x}$ の微分は $\frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}}$ です。

$\sqrt[3]{1-x}$ の微分は $-\frac{1}{3}(1-x)^{-\frac{2}{3}}$ です。

$x$ の微分は $1$ です。

したがって、ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}} - (-\frac{1}{3}(1-x)^{-\frac{2}{3}})}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3} ((1+x)^{-\frac{2}{3}} + (1-x)^{-\frac{2}{3}})$

$x \to 0$ の極限を取ると、

$\frac{1}{3}((1+0)^{-\frac{2}{3}} + (1-0)^{-\frac{2}{3}}) = \frac{1}{3}(1^{-\frac{2}{3}} + 1^{-\frac{2}{3}}) = \frac{1}{3}(1+1) = \frac{2}{3}$

別の解法として、平均値の定理を用いる方法もあります。

$f(x) = \sqrt[3]{x}$ とすると、

$\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}} - \sqrt[3]{1-\frac{1}{n}} = f(1 + \frac{1}{n}) - f(1 - \frac{1}{n})$

平均値の定理より、ある $c \in (1-\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n})$ が存在して、

$f(1 + \frac{1}{n}) - f(1 - \frac{1}{n}) = f'(c)((1+\frac{1}{n}) - (1-\frac{1}{n})) = f'(c) \frac{2}{n}$

$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$ なので、

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{1 + \frac{1}{n}} - \sqrt[3]{1 - \frac{1}{n}})n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3}c^{-\frac{2}{3}} \frac{2}{n} n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3}c^{-\frac{2}{3}}$

$n \to \infty$ のとき $c \to 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{3}c^{-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$