与えられた2つの無限級数の和を求める問題です。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n})$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 3^n}{4^n}$

1. 問題の内容

与えられた2つの無限級数の和を求める問題です。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n})$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 3^n}{4^n}$

2. 解き方の手順

(1)

無限級数は、それぞれの項を分離して計算できます。

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n}$

それぞれの無限級数は等比級数なので、等比級数の公式 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}$ を利用します。ただし、$|r|<1$である必要があります。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^n = \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n = 2 \times \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} = 2 \times \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$

したがって、 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n}) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

(2)

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 3^n}{4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2^n}{4^n} - \frac{3^n}{4^n}) = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{4})^n - \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{4})^n$

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{4})^n = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{4})^n = \frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3$

したがって、 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 3^n}{4^n} = 1 - 3 = -2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{3}$

(2) $-2$