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挟みうちの原理を用いて、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{n}$ を求める問題です。ヒントとして $-1 \le \cos n \le 1$ が与えられています。

解析学極限挟みうちの原理三角関数
2025/6/29

1. 問題の内容

挟みうちの原理を用いて、極限 lim⁡n→∞cos⁡nn\lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{n} を求める問題です。ヒントとして −1≤cos⁡n≤1-1 \le \cos n \le 1 が与えられています。

2. 解き方の手順

挟みうちの原理を用いるために、cos⁡nn\frac{\cos n}{n} を挟む関数を考えます。
ヒントから、−1≤cos⁡n≤1-1 \le \cos n \le 1 であることがわかります。
ここで、nn が無限大に近づくことを考えます。nn は正の整数なので、n>0n > 0 です。したがって、この不等式の各辺を nn で割ることができます。
−1n≤cos⁡nn≤1n -\frac{1}{n} \le \frac{\cos n}{n} \le \frac{1}{n}
次に、両端の関数の極限を計算します。
lim⁡n→∞−1n=0 \lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0
lim⁡n→∞1n=0 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
したがって、挟みうちの原理より、
lim⁡n→∞cos⁡nn=0 \lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{n} = 0

3. 最終的な答え

lim⁡n→∞cos⁡nn=0 \lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{n} = 0

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