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与えられた数列の極限に関する問題です。特に、自然対数の底 $e$ の定義に関わる極限を扱っており、いくつかの空欄を埋める必要があります。

解析学極限数列自然対数の底e収束
2025/6/29

1. 問題の内容

与えられた数列の極限に関する問題です。特に、自然対数の底 ee の定義に関わる極限を扱っており、いくつかの空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 数列 {(1+1n)n}\left\{ \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n \right\} が上に有界な数列であるから収束する。その極限値を ee と書く。すなわち、lim⁡n→∞(1+1n)n=e\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = e である。
(2) lim⁡n→∞(1−1n)−n=e\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n} \right)^{-n} = e が成り立つことを示す。
まず、極限の中身を次のように変形する。
(1−1n)−n=(n−1n)−n=(nn−1)n=(1+1n−1)n=(1+1n−1)(n−1)+1=(1+1n−1)n−1(1+1n−1)1\left(1 - \frac{1}{n} \right)^{-n} = \left( \frac{n-1}{n} \right)^{-n} = \left( \frac{n}{n-1} \right)^{n} = \left( 1 + \frac{1}{n-1} \right)^{n} = \left( 1 + \frac{1}{n-1} \right)^{(n-1)+1} = \left( 1 + \frac{1}{n-1} \right)^{n-1} \left( 1 + \frac{1}{n-1} \right)^{1}
ここで、m=n−1m = n-1 とおくと、n→∞n \to \infty のとき m→∞m \to \infty なので、(1) より、
lim⁡n→∞(1+1n−1)n−1=lim⁡m→∞(1+1m)m=e\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n-1} \right)^{n-1} = \lim_{m \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{m} \right)^m = e である。
一方、lim⁡n→∞(1+1n−1)=1\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n-1} \right) = 1 である。ゆえに、
lim⁡n→∞(1−1n)−n=lim⁡n→∞(1+1n−1)n−1lim⁡n→∞(1+1n−1)=e⋅1=e\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{-n} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n-1} \right)^{n-1} \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n-1} \right) = e \cdot 1 = e
(3) (2) より、次が成り立つ。
lim⁡n→∞(1+1n)−n=lim⁡n→∞((1+1n)n)−1=(lim⁡n→∞(1+1n)n)−1=e−1=1e\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-n} = \lim_{n \to \infty} \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \right)^{-1} = \left( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \right)^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}

3. 最終的な答え

-n
lim(1+)=e
lim(1+(1)= 1
-n
lim(1)=e
lim(1+n=

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