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数列 ${(1 + \frac{1}{n})^n}$ が上に有界であることを示し、その極限値を求める問題です。特に、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ であることを利用します。

解析学数列極限自然対数の底e有界
2025/6/29

1. 問題の内容

数列 (1+1n)n{(1 + \frac{1}{n})^n} が上に有界であることを示し、その極限値を求める問題です。特に、lim⁡n→∞(1+1n)n=e\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e であることを利用します。

2. 解き方の手順

まず、数列 (1+1n)n{(1 + \frac{1}{n})^n} が上に有界であることを示す必要があります。これは、二項定理を用いて展開し、各項が上に有界であることを示すことで証明できます。しかし、問題文は極限値を求めることに重点を置いているため、ここでは上に有界であることは既知として扱います。
次に、極限 lim⁡n→∞(1+1n)n\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n を計算します。これは自然対数の底 ee の定義そのものです。
数列 (1+1n)n{(1 + \frac{1}{n})^n} は収束し、その極限は ee に等しくなります。

3. 最終的な答え

数列 (1+1n)n{(1 + \frac{1}{n})^n} は上に有界な数列であるから収束する。そして、その極限値は ee である。

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