$\tan \frac{x}{2} = t$ とおいたとき、$\sin x$ と $\cos x$ を $t$ を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

$\tan \frac{x}{2} = t$ とおいたとき、$\sin x$ と $\cos x$ を $t$ を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、倍角の公式を用いて、$\sin x$ と $\cos x$ を $\tan \frac{x}{2}$ で表すことを考えます。

$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

$\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$

次に、$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$ であることを利用します。$\sin x$ と $\cos x$ の式をそれぞれ $\cos^2 \frac{x}{2}$ で割ると、以下のようになります。

$\sin x = \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}$

$\cos x = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}$

$\tan \frac{x}{2} = t$ なので、上記の関係式に代入します。

3. 最終的な答え

$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$

$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$