与えられた3つの数列の極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n\to\infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n}$ (2) $\lim_{n\to\infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n}$ (3) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{3^n - 2^n}$

1. 問題の内容

与えられた3つの数列の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n}$

(2) $\lim_{n\to\infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n}$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{3^n - 2^n}$

2. 解き方の手順

(1) 分母分子を $5^n$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1 - (\frac{2}{5})^n}{1 + (\frac{2}{5})^n}$

$n \to \infty$ のとき $(\frac{2}{5})^n \to 0$ であるから、

$\lim_{n\to\infty} \frac{1 - (\frac{2}{5})^n}{1 + (\frac{2}{5})^n} = \frac{1-0}{1+0} = 1$

(2) 分母分子を $3^n$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n} = \lim_{n\to\infty} ((\frac{4}{3})^n - (\frac{2}{3})^n)$

$n \to \infty$ のとき $(\frac{4}{3})^n \to \infty$ であり、$(\frac{2}{3})^n \to 0$ であるから、

$\lim_{n\to\infty} ((\frac{4}{3})^n - (\frac{2}{3})^n) = \infty$

(3) 分母分子を $2^n$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{3^n - 2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{(\frac{3}{2})^n - 1}$

$n \to \infty$ のとき $(\frac{3}{2})^n \to \infty$ であるから、 $(\frac{3}{2})^n - 1 \to \infty$。したがって、

$\lim_{n\to\infty} \frac{2}{(\frac{3}{2})^n - 1} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\infty$

(3) 0