$\tan{\frac{x}{2}} = t$ とおくとき、以下の問いに答える。 (1) $\sin{x}$ と $\cos{x}$ を $t$ で表せ。 (2) $\int{\frac{5}{3\sin{x} + 4\cos{x}}} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan{\frac{x}{2}} = t$ とおくとき、以下の問いに答える。

(1) $\sin{x}$ と $\cos{x}$ を $t$ で表せ。

(2) $\int{\frac{5}{3\sin{x} + 4\cos{x}}} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\tan{\frac{x}{2}} = t$ を用いて $\sin{x}$ と $\cos{x}$ を $t$ で表す。

倍角の公式より、

$\sin{x} = 2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}$

$\cos{x} = \cos^2{\frac{x}{2}} - \sin^2{\frac{x}{2}}$

ここで、$\cos^2{\frac{x}{2}} + \sin^2{\frac{x}{2}} = 1$ であるから、

$\sin{x} = \frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}} + \sin^2{\frac{x}{2}}} = \frac{2\tan{\frac{x}{2}}}{1 + \tan^2{\frac{x}{2}}}$

$\cos{x} = \frac{\cos^2{\frac{x}{2}} - \sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}} + \sin^2{\frac{x}{2}}} = \frac{1 - \tan^2{\frac{x}{2}}}{1 + \tan^2{\frac{x}{2}}}$

$\tan{\frac{x}{2}} = t$ を代入すると、

$\sin{x} = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos{x} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

(2) $\int{\frac{5}{3\sin{x} + 4\cos{x}}} dx$ を求める。

$\sin{x} = \frac{2t}{1+t^2}$、$\cos{x} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ を代入すると、

$\int{\frac{5}{3\sin{x} + 4\cos{x}}} dx = \int{\frac{5}{3\frac{2t}{1+t^2} + 4\frac{1-t^2}{1+t^2}}} dx = \int{\frac{5}{\frac{6t + 4 - 4t^2}{1+t^2}}} dx = \int{\frac{5(1+t^2)}{-4t^2 + 6t + 4}} dx$

ここで、$t = \tan{\frac{x}{2}}$ より、$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2\cos^2{\frac{x}{2}}} = \frac{1}{2}(1+\tan^2{\frac{x}{2}}) = \frac{1+t^2}{2}$ となるので、$dx = \frac{2}{1+t^2}dt$

$\int{\frac{5(1+t^2)}{-4t^2 + 6t + 4}} dx = \int{\frac{5(1+t^2)}{-4t^2 + 6t + 4}} \frac{2}{1+t^2} dt = \int{\frac{10}{-4t^2 + 6t + 4}} dt = \int{\frac{10}{-2(2t^2 - 3t - 2)}} dt = -5\int{\frac{1}{2t^2 - 3t - 2}} dt$

$2t^2 - 3t - 2 = (2t+1)(t-2)$ であるから、

$-5\int{\frac{1}{(2t+1)(t-2)}} dt = -5\int{\frac{A}{2t+1} + \frac{B}{t-2}} dt$

$\frac{1}{(2t+1)(t-2)} = \frac{A(t-2) + B(2t+1)}{(2t+1)(t-2)} = \frac{(A+2B)t - 2A + B}{(2t+1)(t-2)}$

$A+2B=0$ かつ $-2A+B=1$ を満たす $A, B$ は、$A = -\frac{2}{5}, B = \frac{1}{5}$

$-5\int{\frac{1}{(2t+1)(t-2)}} dt = -5\int{-\frac{2}{5(2t+1)} + \frac{1}{5(t-2)}} dt = 2\int{\frac{1}{2t+1}} dt - \int{\frac{1}{t-2}} dt = \ln{|2t+1|} - \ln{|t-2|} + C = \ln{|\frac{2t+1}{t-2}|} + C = \ln{|\frac{2\tan{\frac{x}{2}} + 1}{\tan{\frac{x}{2}} - 2}|} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\sin{x} = \frac{2t}{1+t^2}, \cos{x} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

(2) $\int{\frac{5}{3\sin{x} + 4\cos{x}}} dx = \ln{|\frac{2\tan{\frac{x}{2}} + 1}{\tan{\frac{x}{2}} - 2}|} + C$