楕円 $x = a\cos\theta$, $y = b\sin\theta$ ($a > 0$, $b > 0$, $0 \le \theta \le 2\pi$) で囲まれる図形の面積 $S$ と、その図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求め、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

楕円 $x = a\cos\theta$, $y = b\sin\theta$ ($a > 0$, $b > 0$, $0 \le \theta \le 2\pi$) で囲まれる図形の面積 $S$ と、その図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求め、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

面積 $S$ について:

楕円は $x$ 軸と $y$ 軸に対して対称であるから、求める面積 $S$ は、第1象限の部分の面積の 4 倍である。したがって、空欄1には 4 が入る。

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ では $y \ge 0$ であるから、$S = 4 \int_0^a y dx$ となる。したがって、空欄2には 4 が入る。

$x = a\cos\theta$ より $dx = -a\sin\theta d\theta$ である。$x: 0 \rightarrow a$ のとき $\theta: \frac{\pi}{2} \rightarrow 0$ なので、

$S = 4 \int_{\frac{\pi}{2}}^0 b\sin\theta (-a\sin\theta) d\theta = 4ab \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta d\theta = 4ab \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos2\theta}{2} d\theta = 4ab \left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin2\theta}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 4ab (\frac{\pi}{4} - 0) = \pi ab$ となる。

したがって、$S = 4ab \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin\theta)^2 d\theta = \pi ab$ より、空欄3には 4、空欄4には 2 が入る。

体積 $V$ について:

楕円は $x$ 軸に対して対称であるから、求める体積 $V$ は第1象限の部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる体積の 2 倍より、$V = 2\pi \int_{-a}^a y^2 dx$ で計算できる。

画像中の $V=6\pi \int_0^a y^2 dx$ より、第1象限の部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる体積の2倍である。楕円全体では、$x$ 軸対称より、上半分を回転させた体積の2倍になる。よって空欄5には 2 が入る。

$V = 2 \pi \int_{-a}^a y^2 dx = 2\pi \int_0^\pi (b\sin\theta)^2 (-a\sin\theta)d\theta = 2 \pi \int_{-a}^a y^2 dx = 2\pi b^2 \int_{-a}^a \sin^2\theta d\theta$

画像の $V=6 \pi \int_0^a y^2 dx$ の係数6は、第1象限ではなく、上半分全体($0\leq \theta \leq \pi$)の回転体の2倍を意味する。よって、上半分のみ考えればよい。

よって、$0\leq \theta \leq \pi$で考える。

$x = a\cos\theta$ より $dx = -a\sin\theta d\theta$ である。$x: 0 \rightarrow a$ のとき $\theta: \frac{\pi}{2} \rightarrow 0$ なので、

$V = 2 \pi \int_{a}^{-a} (b\sin\theta)^2 dx=2\pi \int_{\pi}^{0} b^2\sin^2(\theta)(-a\sin(\theta))d\theta = 2\pi ab^2 \int_{0}^{\pi} \sin^3(\theta)d\theta = 2\pi a b^2 \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \pi ab^2$

$x = a\cos\theta$ より $dx = -a\sin\theta d\theta$ である。$x: 0 \rightarrow a$ のとき $\theta: \frac{\pi}{2} \rightarrow 0$ なので、

$V=2\pi \int_0^a y^2 dx = 2 \pi \int_{\frac{\pi}{2}}^0 b^2\sin^2\theta (-a\sin\theta) d\theta = 2\pi a b^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\theta d\theta = 2\pi ab^2 \frac{2}{3}= \frac{4}{3} \pi ab^2$

画像の空欄6には2、空欄7には $\frac{8}{3}$、空欄8には 3 が入る。そして、$\frac{8}{3} \pi ab^2 = \frac{9}{10}\pi a b^2$ より、間違っていることがわかる。

正しくは、$V = \frac{4}{3} \pi a b^2$

3. 最終的な答え

空欄1: 4

空欄2: 4

空欄3: 4

空欄4: 2

空欄5: 2

空欄6: 2

空欄7: $\frac{8}{3}$

空欄8: 3

空欄9: 4

空欄10: 3