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$y' = 3x^2 - 6x - 24$

解析学微分極値増減表最大値最小値グラフ
2025/6/29
## 問題の解答
### (1) 問題の内容
関数 y=x3−3x2−24xy = x^3 - 3x^2 - 24x の極値を求め、グラフを描く。
### (1) 解き方の手順

1. 微分する:

y′=3x2−6x−24y' = 3x^2 - 6x - 24

2. $y' = 0$ となる $x$ を求める:

3x2−6x−24=03x^2 - 6x - 24 = 0
x2−2x−8=0x^2 - 2x - 8 = 0
(x−4)(x+2)=0(x - 4)(x + 2) = 0
x=4,−2x = 4, -2

3. 増減表を作成する:

| x | ... | -2 | ... | 4 | ... |
| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
| y' | + | 0 | - | 0 | + |
| y | ↑ | | ↓ | | ↑ |

4. $x = -2$ のとき、$y = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 24(-2) = -8 - 12 + 48 = 28$ (極大値)

x=4x = 4 のとき、y=(4)3−3(4)2−24(4)=64−48−96=−80y = (4)^3 - 3(4)^2 - 24(4) = 64 - 48 - 96 = -80 (極小値)

5. グラフは、極大値 $(-2, 28)$、極小値 $(4, -80)$ を持つ。

### (1) 最終的な答え
極大値: x=−2x = -2 のとき y=28y = 28
極小値: x=4x = 4 のとき y=−80y = -80
(グラフは省略)
---
### (2) 問題の内容
関数 y=−3x4+4x3+12x2−2y = -3x^4 + 4x^3 + 12x^2 - 2 の極値を求め、グラフを描く。
### (2) 解き方の手順

1. 微分する:

y′=−12x3+12x2+24xy' = -12x^3 + 12x^2 + 24x

2. $y' = 0$ となる $x$ を求める:

−12x3+12x2+24x=0-12x^3 + 12x^2 + 24x = 0
−12x(x2−x−2)=0-12x(x^2 - x - 2) = 0
−12x(x−2)(x+1)=0-12x(x - 2)(x + 1) = 0
x=0,2,−1x = 0, 2, -1

3. 増減表を作成する:

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 2 | ... |
| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
| y' | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - |
| y | ↑ | | ↓ | | ↑ | | ↓ |

4. $x = -1$ のとき、$y = -3(-1)^4 + 4(-1)^3 + 12(-1)^2 - 2 = -3 - 4 + 12 - 2 = 3$ (極大値)

x=0x = 0 のとき、y=−3(0)4+4(0)3+12(0)2−2=−2y = -3(0)^4 + 4(0)^3 + 12(0)^2 - 2 = -2 (極小値)
x=2x = 2 のとき、y=−3(2)4+4(2)3+12(2)2−2=−48+32+48−2=30y = -3(2)^4 + 4(2)^3 + 12(2)^2 - 2 = -48 + 32 + 48 - 2 = 30 (極大値)

5. グラフは、極大値 $(-1, 3)$、極小値 $(0, -2)$、極大値 $(2, 30)$ を持つ。

### (2) 最終的な答え
極大値: x=−1x = -1 のとき y=3y = 3, x=2x = 2 のとき y=30y = 30
極小値: x=0x = 0 のとき y=−2y = -2
(グラフは省略)
---
### (3) 問題の内容
関数 y=2x3−9x2+12x+3y = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 3 の 0≤x≤30 \le x \le 3 における最大値と最小値を求める。
### (3) 解き方の手順

1. 微分する:

y′=6x2−18x+12y' = 6x^2 - 18x + 12

2. $y' = 0$ となる $x$ を求める:

6x2−18x+12=06x^2 - 18x + 12 = 0
x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0
(x−1)(x−2)=0(x - 1)(x - 2) = 0
x=1,2x = 1, 2

3. 増減表を作成する (区間 $0 \le x \le 3$ に限定):

| x | 0 | ... | 1 | ... | 2 | ... | 3 |
| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
| y' | | + | 0 | - | 0 | + | |
| y | | ↑ | | ↓ | | ↑ | |

4. 区間の端点と極値における $y$ の値を求める:

x=0x = 0 のとき、y=2(0)3−9(0)2+12(0)+3=3y = 2(0)^3 - 9(0)^2 + 12(0) + 3 = 3
x=1x = 1 のとき、y=2(1)3−9(1)2+12(1)+3=2−9+12+3=8y = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) + 3 = 2 - 9 + 12 + 3 = 8
x=2x = 2 のとき、y=2(2)3−9(2)2+12(2)+3=16−36+24+3=7y = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) + 3 = 16 - 36 + 24 + 3 = 7
x=3x = 3 のとき、y=2(3)3−9(3)2+12(3)+3=54−81+36+3=12y = 2(3)^3 - 9(3)^2 + 12(3) + 3 = 54 - 81 + 36 + 3 = 12

5. 最大値と最小値を決定する:

最大値は x=3x = 3 のとき y=12y = 12
最小値は x=0x = 0 のとき y=3y = 3
### (3) 最終的な答え
最大値: 1212 (x=3x=3 のとき)
最小値: 33 (x=0x=0 のとき)

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